Из мира сладкой водички
Эксперты маркетинговой кампании «Брейн» изучили рынок сладкой газированной воды в стране Альфа, определив, что на рынке имеется 100 одинаковых потребителей сладкой газированной воды и 10 одинаковых производителей этой воды (одинаковые потребители готовы купить одинаковое количество сладкой воды при каждой цене, а одинаковые продавцы — продать одинаковое количество). Эксперты смогли оценить вкусы потребителей и издержки производителей, и оформить это в виде функций спроса каждого отдельного потребителя и предложения каждого отдельного производителя.
Индивидуальный спрос каждого потребителя сладкой воды представлен в таблице:
Данные в строке P обозначают, сколько альфийских талеров готов заплатить потребитель за литр сладкой воды при покупке Q литров, а данные в строке Q — количество литров, которое готов купить потребитель по цене P альфийских талеров за литр сладкой воды.
Индивидуальное предложение каждого местного продавца сладкой воды представлено в таблице:
Данные в строке P обозначают, сколько альфийских талеров готов заплатить потребитель за литр сладкой воды при покупке Q литров, а данные в строке Q —количество литров, которое готов купить потребитель по цене P альфийских талеров за литр сладкой воды.
Суммарный спрос показывает, сколько воды готовы купить все потребители на рынке, а суммарное предложение — сколько воды готовы продать все продавцы.
А) Определите функции суммарного спроса и суммарного предложения на рынке сладкой воды Альфы.
Способ 1 (с использованием табличных представлений функций спроса и предложения)
Так как покупателей 100 и все одинаковые, то суммарный спрос – сумма индивидуальных функций спроса всех покупателей.
Верная табличная функция суммарного спроса – 3 балла
Так как продавцов 10 и все одинаковые, то суммарное предложение – сумма индивидуальных функций предложения всех продавцов.
Верная табличная функция суммарного предложения – 2 балла.
Способ 2 (с использованием аналитических функций)
Если считать функцию спроса линейной, по данным таблицы можно вывести функцию индивидуального спроса
q_i^{d} = \begin{cases} 11 - 0.01\,P, & P \le 1000,\\ 21 - 0.02\,P, & 1000 < P \le 1050,\\ 0, & P > 1050. \end{cases}
а затем найти функцию суммарного спроса, умножив функцию индивидуального спроса на 100,
Q^{d} = \begin{cases} 1100 - P, & P \le 1000,\\ 2100 - 2P, & 1000 < P \le 1050,\\ 0, & P > 1050. \end{cases}
Верный вывод аналитической функции спроса – 3 балла
Если считать функцию предложения линейной, по данным таблицы можно вывести функцию индивидуального предложения
q_i^{s} = \begin{cases} 0.2\,P - 10, & P \ge 50,\\ 0, & P < 50. \end{cases}
а затем найти функцию суммарного предложения, умножив функцию индивидуального предложения на 10,
Q^{s} = \begin{cases} 2P - 100, & P \ge 50,\\ 0, & P < 50. \end{cases}
Верная аналитическая функция суммарного предложения – 2 балла
Б) На рынке сладкой воды в Альфе наблюдается высокая конкуренция, то есть ни один отдельный продавец и ни один отдельный покупатель не может повлиять на цену воды: цена определяется рынком в результате свободного конкурентного взаимодействия покупателей и продавцов.
Найдите цену, которая сложится на рынке сладкой воды.
По условию цена складывается как результат конкурентного взаимодействия покупателей и
продавцов, поэтому необходимо найти равновесную цену, то есть такую цену, при которой объём суммарного спроса (значение функции спроса при некоторой цене) совпадает с объёмом суммарного предложения (значением функции суммарного предложения) при такой же цене. Такая цена P^*=400.
При табличном решении:
- Объяснение алгоритма нахождения равновесия – 3 балла
- Нахождение равновесной цены – 1 балл
При использовании аналитических функций:
1100-P_1^*=2P_1^*-100 \quad => 3P_1^*=1200 ( 3 балла)
P_1^*=400 тал/литр ( 1 балл)
В) Найдите объем продаж сладкой воды
Объём продаж при цене P_1^*=400 равен Q_1^*=700 литров.
- Нахождение равновесного объёма продаж – 2 балла.
После того, как в стране Альфа был принят закон Уотера, разрешающий иностранные инвестиции в отрасль, производящую напитки, на рынке появилась группа иностранных продавцов сладкой воды.
Суммарное предложение иностранных продавцов представлено в таблице:
Данные в строке P обозначают, сколько альфийских талеров готов минимально получить продавец иностранные продавцы при продаже Q литров, а данные в строке Q – количество литров, которое готовы продать иностранные продавцы по цене P альфийских талеров за литр сладкой воды.
Г) После принятия закона Уотера на рынке стали конкурировать и местные, и иностранные продавцы; цена по-прежнему определяется в результате конкурентного взаимодействия всех покупателей и продавцов на рынке.
Определите, как в результате появления иностранных продавцов изменятся рыночная цена литра сладкой воды и объём её потребления и найдите, как изменятся в результате этого объём продаж и выручка каждого местного продавца по сравнению с пунктами Б) и В).
Способ 1 (с использованием табличных представлений функций спроса и предложения)
Найдем рыночное предложение при наличии двух групп продавцов, сложив при каждой цене величину предложения местных и иностранных продавцов:
- Верная табличная функция рыночного предложения – 2 балла
Рыночное равновесие будет достигнуто при цене P_2^*=350, равновесный объём продаж Q_2^*=750 ( 1 балл)
Равновесная цена снизилась на 50 ден.ед/шт., Равновесный объём вырос на 50 литров ( 1 балл)
Объём продаж всех местных продавцов равен 600, одного продавца – 60 литров.
Объём продаж каждого продавца снизился на 100/10=10 литров ( 1 балл)
Выручка каждого местного продавца изначально была равна (400*700)/10=28000.
После появления иностранных продавцов выручка стала равна (350*600)/10=21000.
( 1 балл за верный подсчёт старой и новой выручки)
Выручка снизилась на 7000. ( 1 балл за нахождения изменения выручки)
Способ 2 (с использованием аналитических функций)
Функция предложения иностранных продавцов имеет вид
Q^{s} = \begin{cases} 0, & P \le 200,\\ P - 200, & P \ge 200. \end{cases}
( 1 балл за верно (с указанием ограничения P\leq 200 ) записанную функцию предложения)
Тогда функция рыночного предложения имеет вид
Q^{s} = \begin{cases} 2P - 100, & 25 \le P \le 200,\\ 3P - 300, & P \ge 200. \end{cases}
( 1 балл за верно записанную кусочно-линейную функцию)
Найдём новое рыночное равновесие:
1100-P_2^*=3P_2^*-300 \quad => P_2^*=350, \ Q_2^*=750
Равновесная цена снизилась на 50 ден.ед/шт., Равновесный объём вырос на 50 литров ( 1 балл)
Объём продаж всех местных продавцов равен 600, одного продавца – 60 литров.
Объём продаж каждого продавца снизился на 100/10=10 литров ( 1 балл)
Выручка каждого местного продавца изначально была равна (400*700)/10=28000.
После появления иностранных продавцов выручка стала равна (350*600)/10=21000.
( 1 балл за верный подсчёт старой и новой выручки)
Выручка снизилась на 7000 ( 1 балл за нахождения изменения выручки)
Д) Качественно (экономически содержательно) объясните причины всех изменений, найденных в пункте Г).
1. На рынке стало больше продавцов, конкуренция между продавцами усилилась (предложение выросло), поэтому равновесная цена снизилась. ( 1 балл при указании на действие механизма конкуренции или рост предложения)
2. Так как цена снизилась, покупать стали больше. Поэтому объём продаж вырос ( 1 балл за причину)
3. Так как цена снизилась, объём продаж каждого местного продавца снизился ( 1 балл за причину)
4. Так как цена снизилась и объём продаж каждого местного продавца снизился, выручка каждого местного продавца снизилась ( 1 балл за причину)
Недовольные изменениями, произошедшими после принятия закона Уотера, местные продавцы провели совместную рекламную кампанию, которая не смогла повлиять на спрос потребителей, которые были на рынке изначально, но позволила привлечь новых потребителей.
Суммарный спрос новых потребителей представлен в таблице:
Данные в строке P обозначают, сколько альфийских талеров готов заплатить новый потребитель за литр сладкой воды при покупке Q литров, а данные в строке Q –количество литров, которое готовы купить новые потребители по цене P альфийских талеров за литр сладкой воды.
Е) Определите, как в результате рекламной кампании изменятся рыночная цена литра сладкой воды и объём её потребления по сравнению с пунктом Г), а также найдите, как изменятся объём потребления и расходы каждого покупателя, приобретавшего сладкую воду до проведения рекламной кампании.
Способ 1 (с использованием табличных представлений функций спроса и предложения)
Найдем рыночный спрос при наличии двух групп покупателей, сложив при каждой цене величину спроса старых и новых потребителей сладкой воды:
- Верная табличная функция рыночного спроса – 1 балл
Рыночное равновесие будет достигнуто при цене P_3^*=500, равновесный объём продаж Q_3^*=1200 ( 1 балл)
Равновесная цена выросла на на 150 ден.ед/шт, равновесный объём вырос на 450 литров ( 1 балл)
Объём покупок всех «старых» потребителей равен 600, одного потребителя – 6 литров.
Объём покупок каждого «старого» потребителя снизился на 150/100=1,5 литра ( 1 балл)
Расходы каждого «старого» потребителя до рекламной кампании были равны (350*750)/100=2625.
После рекламной кампании расходы каждого «старого» потребителя стали равны (500*600)/100=3000.
( 1 балл за верный подсчёт старых и новых расходов каждого потребителя)
Расходы выросли на 375 ( 1 балл за нахождения изменения расходов каждого потребителя)
Способ 2 (с использованием аналитических функций)
Функция спроса «новых» покупателей имеет вид
Q^{d} = \begin{cases} 0, & \text{при } P \ge 800,\\ 1600 - 2P, & \text{при } P \le 800. \end{cases}
( 1 балл за верно (с указанием ограничения P\geq 800 ) записанную функцию спроса)
Тогда функция рыночного спроса имеет вид
Q^{d} = \begin{cases} 1100 - P, & \text{при } 800 \le P \le 1100,\\ 2700 - 3P, & \text{при } P \le 800. \end{cases}
( 1 балл за корректно записанную кусочно-линейную функцию)
Найдём новое рыночное равновесие:
2700-3P_3^*=3P_3^*-300 \quad => P_3^*=500, \ Q_3^*=1200 ( 1 балл)
Равновесная цена выросла на на 150 ден.ед/шт, равновесный объём вырос на 450 литров ( 1 балл)
Объём покупок всех «старых» потребителей равен 600, одного потребителя – 6 литров.
Объём покупок каждого «старого» потребителя снизился на 150/100=1,5 литра ( 1 балл)
Расходы каждого «старого» потребителя до рекламной кампании были равны (350*750)/100=2625.
После рекламной кампании расходы каждого «старого» потребителя стали равны (500*600)/100=3000.
( 1 балл за верный подсчёт старых и новых расходов)
Расходы выросли на 375 талеров ( 1 балл за нахождение изменения расходов)
Ж) Качественно (экономически содержательно) объясните причины всех изменений, найденных в пункте Е).
1. На рынке стало больше покупателей (спрос вырос), конкуренция между продавцами снизилась, поэтому равновесная цена выросла. ( 1 балл при указании на действие механизма конкуренции или рост спроса)
2. Так как цена выросла, продавать стали больше. Поэтому объём продаж вырос. ( 1 балл за причину)
3. Так как цена выросла, объём продаж каждого «старого» покупателя снизился. ( 1 балл за причину)
4. Цена выросла и несмотря на то, что объём покупок каждого «старого» покупателя снизился, расходы каждого местного покупателя выросли ( 1 балл за причину)
З) Изучив ситуацию на рынке сладкой воды, государство решило ввести налог, который уплачивается при продаже каждого литра воды. по ставке 200 альфийских талеров с литра.
Определите, как в результате введения налога изменится объём потребления сладкой воды по сравнению с пунктом Е), а также найдите, какую сумму получит государство в виде налоговых сборов на данном рынке.
Способ 1 (с использованием табличных представлений функций спроса и предложения)
Теперь за каждую штуку покупатели платят на 200 талеров больше, чем получают продавцы, при этом (так как налог денежный) объём спроса равен объёму предложения.
- Обоснование нахождения равновесия после введения налога – 4 балла
Такое соотношение наблюдается при объёме продаж Q_t=900, цене покупателей P^d=600 и цене продавцов P^d=400.
- Нахождение объёма продаж при введении налога – 1 балл
Объём потребления сладкой воды снизится на 300 литров.
- Нахождение изменения объёма продаж – 1 балл
Налоговые сборы составят T_x=t*Q_t=200*900=180000 альфийских талеров.
- Нахождение величины налоговых сборов – 2 балла
Способ 2 (с использованием аналитических функций).
Так как за каждую штуку покупатели платят на 200 талеров больше, чем получают продавцы, можно записать соотношение P^d=P^s+200.
Подставим это соотношение в функции рыночного спроса и предложения:
Q^{d} = \begin{cases} 1100 - \bigl(P^{s} + 200\bigr), & \text{при } 800 \le P^{s} + 200 \le 1100,\\ 2700 - 3\bigl(P^{s} + 200\bigr), & \text{при } P^{s} + 200 \le 800. \end{cases}
Q^{s} = \begin{cases} 2P^{s} - 100, & \text{при } 25 \le P^{s} \le 200,\\ 3P^{s} - 300, & \text{при } P^{s} \ge 200. \end{cases}
Упростим запись функции спроса
Q^{d} = \begin{cases} 900 - P^{s}, & \text{при } 600 \le P^{s} \le 900,\\ 2100 - 3P^{s}, & \text{при } P^{s} \le 600. \end{cases}
Так как до введения налога цена была равна 500, то после введения налога цена продавца P^s должна быть ниже, чем 500.
Приравняем второй (общий) участок функции спроса и второй (общий) участок функции
предложения.
3P^{s} - 300 \;=\; 2100 - 3P^{s} \;\;\Longrightarrow\;\; P^{s} \;=\; \frac{2400}{6} \;=\; 400, тогда P^{d} \;=\; 600, \qquad Q_{t} \;=\; 3\cdot 400 - 300 \;=\; 900.
- Нахождение объёма продаж при введении налога – 1 балл
В результате объём продаж сократится на 1500-1200=300 литров.
- Нахождение изменения объёма продаж – 1 балл
Налоговые сборы составят T_x=t*Q_t=200*900=180000 альфийских талеров.
- Нахождение величины налоговых сборов – 2 балла