Задача 3. ШЭ ВСоШ Татарстан 2026 (9-11класс)
Рассмотрим фирму на совершенно конкурентном рынке. Цена товара p задана извне, так как фирма — ценополучатель. Издержки фирмы зависят от выпуска q\geq 0 и равныTC(q)=10q+q^2. Прибыль фирмы равна выручке за вычетом издержек. Фирма максимизирует свою прибыль.
а) ( 3 балла) При цене p=8 найдите объём выпуска q^*, максимизирующий прибыль, и значение прибыли \pi^*.
При фиксированной цене p прибыль как функция от выпуска \pi(q)=pq-(10q+q^2)=-q^2+(p-10)q является квадратичной функцией (параболой), ветви направлены вниз (коэффициент при q^2 равен -1<0 ). Максимум такой параболы достигается в её вершине.
Вершина параболы. Для функции aq^2+bq+c вершина имеет абсциссу q^*=-\frac{b}{2a}.
Здесь a=-1, \ b=(p-10), поэтому q^*=\frac{p-10}{2}.
Если q^*<0 (то есть p<10 ), допустимая область q\geq 0 отсекает вершину, и максимум достигается на границе q=0. Если q^*\geq 0 (то есть p\geq 10 ), максимум достигается в вершине.
Значение прибыли в вершине удобно получить через «квадрат по формуле вершины»:
\pi(q) = - \left( q-\frac{(p - 10)}{2} \right)^2 + \frac{(p - 10)^2}{4}.
Отсюда \max_q \pi(q) = \frac{(p - 10)^2}{4} при p\geq 10, а при p<10 максимум равен 0 на q=0.
p = 8 < 10 \Rightarrow q^* = \frac{8 - 10}{2} = -1 < 0. Оптимум на границе: q^*=0, \ \pi^*=0.
б) ( 3 балла) При цене p=14 найдите q^* и \pi^*.
p = 14 \Rightarrow q^* = \frac{14 - 10}{2} = 2 \ (\geq 0). \text{ Тогда } \pi^* = \frac{(14 - 10)^2}{4} = \frac{16}{4} = 4
в) ( 4 балла) Найдите функцию предложения фирмы q(p), то есть оптимальное q в зависимости от цены p.
Функция предложения. Оптимальный выпуск как функция цены — это абсцисса вершины, обрезанная снизу нулём:
q(p) = \begin{cases} 0, & p < 10, \\ \frac{p - 10}{2}, & p \geq 10. \end{cases}