При фиксированной цене p прибыль как функция от выпуска \pi(q)=pq-(10q+q^2)=-q^2+(p-10)q является квадратичной функцией (параболой), ветви направлены вниз (коэффициент при q^2 равен -1<0 ). Максимум такой параболы достигается в её вершине.

Вершина параболы. Для функции aq^2+bq+c вершина имеет абсциссу q^*=-\frac{b}{2a}.

Здесь a=-1, \ b=(p-10), поэтому q^*=\frac{p-10}{2}.

Если q^*<0 (то есть p<10 ), допустимая область q\geq 0 отсекает вершину, и максимум достигается на границе q=0. Если q^*\geq 0 (то есть p\geq 10 ), максимум достигается в вершине.

Значение прибыли в вершине удобно получить через «квадрат по формуле вершины»:

\pi(q) = - \left( q-\frac{(p - 10)}{2} \right)^2 + \frac{(p - 10)^2}{4}.

Отсюда \max_q \pi(q) = \frac{(p - 10)^2}{4} при p\geq 10, а при p<10 максимум равен 0 на q=0.

p = 8 < 10 \Rightarrow q^* = \frac{8 - 10}{2} = -1 < 0. Оптимум на границе: q^*=0, \ \pi^*=0.