3. Торговля свежим хлебом
В одном сибирском округе есть железнодорожная станция, от которой отходит прямая проселочная дорога. Через километра по дороге стоит село , еще через километра — село и еще через километра — село . В каждом селе живут человек.
От станции до последнего села часто ходит маршрутка, проезд в которой стоит рубль за километр. Маршрутка может останавливаться в любом месте для посадки и высадки пассажиров.
Каждый житель сёл любит свежий хлеб (и не ест вчерашний) и съедает в день буханку хлеба. Когда выпускник РЭШ Федор оказался в этих местах, он узнал, что каждый житель ездит сам за хлебом на маршрутке до станции, где тот продается по рублей за буханку. Федор решил помочь жителям сёл с доставкой хлеба.
Хитрый выпускник РЭШ нашел небольшой фургончик и решил доставлять хлеб в точку , расположенную на проселочной дороге. Оценив спрос, каждое утро он будет закупать хлеб в магазине на станции, везти его до точки , там продавать всем желающим, а вечером везти пустой фургон обратно на станцию. Расходы на бензин составляют рубля за километр пути.
Считайте, что жители сёл принимают решение о покупке хлеба исключительно на основании минимизации расходов (цена хлеба плюс расходы на проезд на маршрутке), а при равенстве расходов предпочитают покупать хлеб у Фёдора, а не в магазине.
В какой точке дороги Федору нужно поставить фургон и по какой цене продавать хлеб, если он хочет получить максимальную прибыль (разницу между выручкой от продажи и затратами на закупку хлеба и на бензин)?
Ответ
Рассмотрим ситуации:
1. Фургон поставят на отрезке .
2. На отрезке .
3. На отрезке .
Расходы на покупку хлеба в магазине на станции для жителя села
составит рублей, для жителя села рубль, для жителя села рублей.
- Пусть фургон поставлен в точке отрезка . Тогда трата на дорогу до фургона жителя села составит , для жителя села для жителя села . При цене хлеба , условие покупки хлебом для жителя села : , для села , для села . Все три неравенства соответствуют . Таким образом, либо все три села закупаются у Федора либо все три села покупают на станции. Федор, максимизируя прибыль, установит максимальную цену т.е. . Издержки на доставку хлеба до точки составят , затраты на закупку хлеба .
Выручка Федора составит . Очевидно, что поставить фургон надо в точке (село ). Прибыль составит рублей в день при цене рублей за батон
- Пусть фургон поставлен в точке отрезка . Тогда трата на дорогу до фургона жителя села составит , для жителя села для жителя села . При цене хлеба , условие покупки хлебом для жителя села : , для села , для села . Второе и третье уравнение по-прежнему соответствуют . Первое соответствует . Если Федор хочет продавать всем трем селам, то сложив два неравенства получим . При условии, что Федор максимизирует прибыл, он назначит цену , при этом . Прибыль этого варианта рассчитана в пункте и составляет рублей.
Если мы хотим назначить цену выше , то покупать буду только дальние села ( и ), при этом прибыль будет , но уже может быть равно , что дает прибыль рубля, т.е. фургон выгодней поставить в селе , обеспечивая хлебом только два дальних села.
- Пусть фургон поставлен в точке отрезка . Тогда трата на дорогу до фургона жителя села составит , для жителя села для жителя села . При цене хлеба , условие покупки хлебом для жителя села : , для села , для села .
Заметим, что первое неравенство сильнее чем второе, , т.е. если не выгодно ехать из села , то тем более не выгодно ехать из села .
Предположим, что Федор хочет продавать всем трем селам. Тогда второе максимальная цена, при которой участвует первое село – рублей. Ставить ниже цену (и соответственно везти фургон с хлебом дальше) смысла нет, так как количество покупателей это не увеличит, зато уменьшит цену и увеличит затраты на доставку.
Очевидно, этот вариант хуже, чем продавать в селе тому же количеству но по цене рублей.
Предположим Федор хочет удержать два села ( и ). Сложив неравенства и получим что при этом максимальная цена достигается в точке . Это соответствует решению пункта (прибыль рубля).
Пусть Федор хочет продавать только в селе :
Тогда прибыль составит рублей (фургон едет до самого конца – в село ), что хуже чем продажа в селе или в селе .
Таким образом, Федор будет везти свой фургон в село и продавать хлеб жителям сел и по цене рубль, получая прибыль рубля в день.
Критерии
Сколько стоит хлеб для каждого жителя – балл
Идея + твердое (математическое или логическое) обоснование, почему при расположении точки продажи правее какого либо села выгоднее отказаться от обслуживания жителей этого села – баллов. За слабое обоснование баллы снижались. Если делалось утверждение, что продавать нужно только в городах, без каких либо объяснений – баллов.
Корректный расчёт прибыли в каждом из городов – балла.
Отдельно снижалось на балл если решение было просто сделано перебором по километру в каждой точке без обоснования почему выгодней двигаться дальше.
За не учёт затрат на обратную дорогу у сельчан снималось балла