Задача 1.1.2
Лобов N. А. производит кольца власти и единицы IT , используя сканеры и рыб-вуалехвостов из аквариума учебного центра Вороново . Производственные функции колец власти и IT имеют вид соответственно
Лобов имеет в своем распоряжении всего сканера и вуалехвоста. На рынке одну единицу IT меняют на два кольца власти.
а) Изобразите КПВ Лобова N. А. на графике в координатах колец власти и единиц IT. Запишите КПВ аналитически.
Летний олимпиадный лицей, 2023
Ответ
Индексами будем обозначать объёмы ресурсов, используемых в производстве соответственно и . Так как для производства каждого из товаров нужны оба ресурса, КПВ получается совмещением двух ограничений:
КПВ получаем как нижнюю огибающую этих ограничений: рис. 2a. Оба они выпуклы, их границы соединяют точки, соответственно и , поэтому пересекутся в некоторой точке. Для нахождения точки пересечения решим систему
Получаем точку . Для аналитического выражения лишь добавим ограничения в систему, явно выражать или не требуется:
б) Изобразите КТВ Лобова N. А. на графике предыдущего пункта.
Ответ
КТВ — прямая с наклоном , поскольку единицу обменивают на единицы . Наиболее высоко лежащая прямая, имеющая хотя бы одну точку пересечения с КПВ проходит через точку : , красная линия на рис. 2a.
в) Предводительница Алёна С. была озадачена результатом торговли, из-за чего запретила Лобову N. А. продавать кому-либо более единиц IT. Учитывая новые ограничения, изобразите КТВ Лобова на графике и запишите аналитическую зависимость.
Ответ
Можно продавать любое количество не более , поэтому доступны любые точки КТВ, лежащие выше прямой . Для нахождения оставшегося участка КТВ необходимо сдвинуть всю КПВ по направлению, соответствующему продаже ровно единиц . То есть необходимо сдвинуть КПВ на единиц вниз и на единиц вправо. После сдвига нижний участок КПВ таким образом окажется под осью , так что КТВ будет состоять только из двух участков: красная кривая на рис. 2b.
Аналитическая зависимость: