Кусочки курно

Найдем суммарный спрос мужчин и женщин:

P = \begin{cases} 120 - Q, & Q \leq 60; \\ 90 - 0.5Q, & 60 < Q \leq 180. \end{cases}

Выпишем прибыль первой фирмы:

Pr_1 = PQ_1 - Q_1^2 = \begin{cases} (120 - Q_2 - Q_1)Q_1 - Q_1^2, & Q_1 + Q_2 \leq 60; \\ (90 - 0.5Q_2 - 0.5Q_1)Q_1 - Q_1^2, & Q_1 + Q_2 > 60. \end{cases}.

Pr_1 = \begin{cases} (120 - Q_2)Q_1 - 2Q_1^2, & Q_1 \leq 60 - Q_2; \quad (1) \\ (90 - 0.5Q_2)Q_1 - 1.5Q_1^2, & Q_1 > 60 - Q_2. \quad (2) \end{cases}

Теперь методом кусочной оптимизации найдем оптимальный Q_1 в зависимости от Q_2  \ (1) :

Q_1 = \begin{cases} \frac{120 - Q_2}{4} = 30 - 0.25Q_2, & Q_2 \leq 40; \\ 60 - Q_2, & Q_2 > 40. \end{cases}

Подставляем это в прибыль 1 - й фирмы:

Pr_1 = \begin{cases} 1800 - 30Q_2 + 0.125Q_2^2, & Q_2 \leq 40; \\ 120Q_2 - 1.5Q_2^2 - 1800, & Q_2 > 40. \end{cases}

Тоже самое сделаем для (2) :

Q_1 = \begin{cases} 30 - \frac{1}{6}Q_2, & Q_2 > 36; \\ 60 - Q_2, & Q_2 \leq 36. \end{cases}

Pr_1 = \begin{cases} 1350 - 15Q_2 + \frac{1}{24}Q_2^2, & Q_2 > 36; \\ 120Q_2 - 1.5Q_2^2 - 1800, & Q_2 \leq 36. \end{cases}

Теперь нужно сравнить Pr, полученную из (1) с Pr, полученную из (2), на всех участках Q_2 - от 0 до 36, от 36 до 40 и от 40 и выше.

Сделав это мы получим:

Pr_1 = \begin{cases} 1800 - 30Q_2 + 0.125Q_2^2, & Q_2 \leq 90 - 30\sqrt{3}; \\ 1350 - 15Q_2 + \frac{1}{24}Q_2^2, & Q_2 > 90 - 30\sqrt{3}. \end{cases}

Таким образом кривая реакции 1 - й фирмы на выпуск второй будет:

Q_1 = \begin{cases} 30 - 0.25Q_2, & Q_2 \leq 90 - 30\sqrt{3}; \\ 30 - \frac{1}{6}Q_2, & Q_2 \geq 90 - 30\sqrt{3}. \end{cases}

а это тоже самое, что и:

Q_2 = \begin{cases} 120 - 4Q_1, & Q_1 \geq 7.5 + 7.5\sqrt{3}; \\ 180 - 6Q_1, & Q_1 \leq 15 + 5\sqrt{3}. \end{cases}

Аналогичным образом мы можем получить кривую реакции второй фирмы на выпуск первой: Q_2 = \begin{cases} 40 - 0.5Q_1, & Q_1 \leq 60 - 20\sqrt{2}; \\ 50 - 0.5Q_1, & 60 - 20\sqrt{2} \leq Q_1 \leq 100; \\ 0, & Q_1 > 100. \end{cases}

Теперь просто пересекаем эти две кривые реакций друг с другом, проверяя ограничения на участки. Получится, что в равновесии Q_1=160/7 и Q_2=200/7, тогда цена будет P = 120 - \frac{160}{7} - \frac{200}{7} = \frac{480}{7}

Ответ:

 Q_1 = \frac{160}{7}, \ Q_2 = \frac{200}{7}, \ P = \frac{480}{7}