а) Без налога равновесная цена определяется из уравнения 20-P=P/3, откуда P=15. Пусть введён потоварный налог по ставке t. Тогда новая цена потребителей удовлетворяет уравнению 20-P_d=(P_d-t)/3.

Новая цена потребителей должна равняться 15*1,2=18,

значит 20 - 18 = \frac{18 - t}{3}, \quad t = 12.

Ответ: t=12.

б) Рассчитаем величину общественного благосостояния до и после введения налога. Налоговые поступления равны T=tQ. Графическая иллюстрация представлена ниже:

До введения налога объём равен Q_0=20-15=5, и величина общественного благосостояния равна:

0{,}5 Q_0^2 + 1{,}5 Q_0^2 + 0 + \alpha Q_0^2 = 50 - 25 \alpha

После введения налога объём равен Q-1=20-18=2, общественное благосостояние составляет:

0{,}5 Q_1^2 + 1{,}5 Q_1^2 + t Q_1 - \alpha Q_1^2 = 8 + 24 - 4 \alpha = 32 - 4 \alpha

Поскольку благосостояние падает на 20\%, имеем уравнение 32-4\alpha =0,8*(50-25\alpha), откуда \alpha =0,5.

Ответ: \alpha =0,5

в) Чтобы получить равновесный объем Q, нужно ввести налог по ставке:

t(Q) = P_d(Q) - P_s(Q) = 20 - Q - 3Q = 20 - 4Q

Сборы при этом составят Q*(20-4Q). Значит, величина общественного благосостояния при объёме Q составляет:

W(Q) = 0{,}5 Q^2 + 1{,}5 Q^2 + Q \cdot (20 - 4Q) - \alpha Q^2 = 20Q - 2{,}5 Q^2

Промаксимизируем эту величину по Q, а затем найдем ставку налога t(Q), реализующую этот объём. W(Q) задаёт квадратичную параболу с ветвями вниз, максимум достигается в вершине параболы Q^* = \frac{20}{5} = 4. Этот объём реализует ставка налога t(4)=4.

Ответ: t^*=4.

Примечание:

Стандартный график темы "внешние эффекты" для ситуации, описанной в данной задаче, приведён на следующем графике:

Предельные общественные издержки больше частных, MSC>MPC (4Q>3Q), и потому корректирующий налог способен максимизировать благосостояние. При оптимальном налоге, снижающем выпуск с 5 до 4, выигрыш в благосостоянии по сравнению с невмешательством равен площади S_1. Налог, предлагаемый Гретой, однако, слишком высок: он сокращает выпуск до 2, в результате чего благосостояние снижается даже по сравнению с первоначальной ситуацией. Графически это выражается в том, что площадь S_2 больше площади S_1.