Рабочие — объединяйтесь!
В Объединенной стране существует 100 фирм, каждая из которых является монополистом на рынке своей готовой продукции. Спрос на каждом из рынков имеет вид P(Q)=120-Q, где где P — это цена одного механического устройства (в д.е.), а Q — количество механических устройств. Производственная функция каждой фирмы имеет вид Q=KL, где K — количество используемого капитала в единицах, а L — количество задействованных человеко-часов. Известно, что фирмы используют фиксированное количество капитала K=1, единица которого приобретается по цене r=10. Известно, что фирмы нанимают работников на конкурентном рынке и воспринимают зарплату как заданную.
а) ( 8 баллов) Выведите совокупный спрос фирм на труд.
Запишем прибыль каждой фирмы
\pi = P(Q) \cdot Q - wL - rK.
Подставим все известные из условия данные и получим
\pi = (120 - Q) \cdot Q - wL - 10 \cdot 1 = (120 - L) \cdot L - wL - 10 \rightarrow \max_{L \ge 0}.
Функция прибыли — это парабола ветвями вниз относительно L, максимум достигается в вершине L^{*} = \frac{120 - w}{2}.
Значит, спрос одной фирмы равен L_i^{d} = \frac{120 - w}{2}, а суммарный спрос
L^{d} = 100 \cdot \frac{120 - w}{2} = 6000 - 50w.
б) ( 10 баллов) В Объединенной стране есть только двое уникальных рабочих: Электроник и Механик — которые могут работать только целое количество часов. Найдите, какая заработная плата сложится на рынке труда, если Электроник и Механик выбирают количество своих рабочих часов одновременно и независимо друг от друга, максимизируя собственную суммарную заработную плату.
Собственная суммарная заработная плата Электроника, работающего количество
часов L_e, равна L_e*w. Электроник умеет влиять на равновесную зарплату w, выбирая количество часов, которое он будет работать, получим
L_e \cdot w = L_e \cdot \frac{6000 - (L_e + L_m)}{50},
где L_m — количество часов, которое работает Механик. Тогда Электроник решает следующую задачу
L_e \cdot w = \frac{6000L_e - L_e^2 - L_mL_e}{50} \to \max_{L_e \ge 0}.
Функция — парабола ветвями вниз относительно L_e, получим, что максимум достигается в вершине
L_e^{*} = \frac{6000 - L_m}{2}.
Если Механик будет работать менее 6000 часов, то количество часов, которое выберет Электроник будет определяться формулой выше, иначе Электроник предпочтёт совсем не работать.
L_e = \begin{cases} \dfrac{6000 - L_m}{2}, & \text{если } L_m \le 6000, \\[8pt] 0, & \text{иначе.} \end{cases}.
Для Механика рассуждения будут аналогичными. Откуда получим количество часов, которое будет работать Механик
L_m = \begin{cases} \dfrac{6000 - L_e}{2}, & \text{если } L_e \le 6000, \\[8pt] 0, & \text{иначе.} \end{cases}
Равновесие будет достигнуто в точке пересечения этих двух функций, откуда количество часов работы каждого будет равно L_m=L_e=2000. Откуда равновесная зарплата будет равна w=40.
в) ( 7 баллов) Электроник и Механик решили перестать конкурировать друг с другом и объединиться в профсоюз, который обладает силой устанавливать заработную плату и преследует цель максимизации суммарных выплат всем рабочим. После этого фирмы выбирают, какое количество труда они хотят нанять при заданной ставке заработной платы. Найдите, как изменится заработная плата по сравнению со значением, найденным в пункте б), и объясните, почему так происходит.
Теперь Электроник и Механик максимизируют суммарную заработную плату, совместно выбирая количество рабочих часов. Таким образом, они вместе решают следующую задачу:
L \cdot w = L \cdot \frac{6000 - L}{50} = \frac{6000L - L^2}{50} \to \max_{L \ge 0},
где L=L_e+L_m. Эта функция — парабола ветвями вниз, максимум которой находится в вершине L^*=6000/2=3000. Тогда равновесная заработная плата: w^*=\frac{6000-3000}{50}=60.
Почасовая заработная плата увеличилась по сравнению с ситуацией конкуренции. Это произошло из-за того, что теперь Электроник и Механик действуют как монополист на рынке труда, что позволяет им координировать действия друг друга и достигать максимально возможной ставки заработной платы.