Логарифмические линейки и налоги в процентах от цены
Король одного государства решил пополнить казну, обложив налогом рынок логарифмических линеек.
– Знаешь ли, – говорит Король своему новому советнику, Юному Экономисту, – «абсолютные потоварные» налоги мне надоели, хочу ввести налог в процентах от цены. Только вот не знаю, от какой цены: от «новой» или от «старой».
– А что это значит? Мы такого не проходили, – расстроился Юный Экономист.
– Ну смотри. Если я ввожу налог в размере X% от «новой» цены, то это значит, что X% от цены каждой логарифмической линейки, которая продается в нашей стране, идет мне в карман. Если же от «старой», то это значит, что при каждом конкретном количестве продаваемых линеек в мой карман попадает сумма, равная X% того, что получает продавец. По-другому: "старая" цена соответствует некоторому количеству на старой кривой предложения, а "новая" цена соответствует тому же количеству на кривой предложения, измененной с учётом налога - на "новой" кривой предложения. Теперь понятно?
– Понятно. Нам еще что-то рассказывали про «цену покупателя» и «цену продавца»...
– Ну так вот. Налог я введу небольшой, 20%; а от «новой» или от «старой» – как будет выгоднее для казны. Доставай блокнот. Предложение: Q_s = 12 \ln\left(\frac{5p}{16}\right) + 5p + 1; спрос: Q_d = -12 \ln(p) + 4p + 1. Цена – в тугриках, количество – в тысячах линеек. Если цена 2,5 тугрика и выше, спрос отсутствует; впрочем, говорят, таких высоких цен там никогда не бывает. Только ты не торопись сразу считать, а то с ума сойдешь. Тут до тебя был Старый Экономист, так он считал-считал, да и подал в отставку. Говорит, там что-то такое транс... ценс... денс... Ну, в общем, за гранью разумного. Ты лучше сначала поупражняйся на рынке обычных линеек, там предложение и спрос что ни на есть линейные:Q_s = 20p - 108; \quad Q_d = 100 - 10p. Проведи расчеты и выясни, в каком случае налоговые поступления будут больше: если продавцов обычных линеек обложить налогом в 20% от «новой» цены или от «старой». Какой способ здесь окажется выгоднее, тот и применим к рынку логарифмических линеек. Мне принесешь отчет: сколько после введения налога будет продано этих линеек и по какой цене; каковы будут налоговые сборы.
***
А теперь представьте, что вы – Юный Экономист. Проведя необходимые расчеты, определите способ налогообложения и предоставьте вышеописанный «отчет».
В этой задаче проверяется умение находить функции предложения, измененные под влиянием косвенных налогов. В случае с абсолютными потоварными налогами все довольно просто. Если вводится налог в размере T рублей с единицы, то при каждом возможном Q цена покупателя будет на T выше; предложение сдвигается на T единиц вверх, т.е. в направлении оси аргументов. Поэтому новую формулу предложения можно получить, используя элементарные сведения о преобразовании графиков из школьного курса алгебры: подставив в старую формулу (P-T) вместо P, получим новую формулу: Q_{sh}=Q_{sct}(P-T).
Если налог берется в процентах, то ситуация немного усложняется. Самый простой, «лобовой» способ здесь – выразить P через Q и осуществить вполне очевидные преобразования, после чего опять выразить Q через P. Допустим, мы выразили P через Q в первоначальной формуле, т.е. получили выражение для P_{ст}(P_{старой}). Если налог берется в размере T % от старой цены, то мы просто умножаем полученное выражение на (1+t), где t=T/100 – ставка налога в долях. P_{CT} = f(Q); \quad (1+t)*P_{CT} = (1+t)*f(Q). Но т.к. (1+t)*P_{CT} = P_{H} по определению, то мы и получили выражение Рн через Q ; остается только выразить Q через P_Н, и получим новую функцию предложения.
Если налог берется в размере T % от новой цены, то из очевидного выражения P_{СТ}+t*P_Н=P_Н получаем P_Н = P_{СТ}/(1-t). Теперь, найдя выражение P_{СТ}=f(Q), выполняем действия, аналогичные вышеописанным: P_{СТ}=f(Q)/(1-t); P_Н=f(Q)/(1-t).
А что делать, если мы не можем получить явного выражения P через Q ? Что, если функция предложения чуть посложнее, чем линейная? Выход есть.
Обратимся к рисунку. Здесь S_{СТ} – первоначальная функция предложения, S_Н – функция предложения после введения налога. Пусть мы знаем явное выражение Q_{СТ} от P_{СТ}, но не можем выразить P_{СТ} через Q. Однако, используя данные из условия задачи, мы без труда можем выразить формулой связь между P_{СТ} и P_Н в каждой точке.
Зафиксируем Q на уровне Q*. В этой точке верно следующее: Q_Н(P_Н)=Q_{СТ}(P_{СТ})=Q*. Но ведь эта формула верна для любого Q* ! Посмотрим теперь на равенство Q_Н(P_Н)=Q_{СТ}(P_{СТ}). В левой части находится то, что нам надо найти – явное выражение Q_Н через P_Н ; в правой части – явное выражение Q_{СТ} через P_{СТ}. Поскольку это равенство выполняется в любой точке, нам достаточно подставить выражение P_{СТ} через P_Н в формулу Q_{СТ}(P_{СТ}), и мы получаем искомое явное выражение для Q_Н. Возможны два случая:
1) Налог берется в размере T% от старой цены, т.е. P_{CT} + t*(P_{СТ})= P_{H}, где t=T/100 – ставка налога в долях. Отсюда P_{CT} = P_{H}/(1+t).
2) Налог берется от новой цены, т.е. P_{CT}+t*P_Н = P_H. В этом случае P_{СТ}=P_Н*(1-t).
В этой задаче специально введены такие функции спроса и предложения, чтобы нельзя было явно выразить P через Q (здесь мы сталкиваемся с т.н. трансцендентными уравнениями, название которых не смог выговорить наш Король). В этом случае нельзя обойтись только «лобовым методом».
Применим наши рассуждения на практике:
Сначала рассчитаем сумму налоговых поступлений с рынка обычных линеек.
\text{Q}_{\text{Sct}} = 20P - 108; \quad \text{Q}_d = 100 - 10P
1. \ 20\% \ \text{от} \ \text{P}_{\text{CT}}.\ \text{Qsh} = 20\left(\frac{\text{Рн}}{(1+0,2)}\right)-108 = 50\text{Рн}/3 - 108. \text{Приравниваем} \ \text{к} \ \text{Q}_d :
50\text{Рн}/3 - 108 = 100 - 10\text{Рн}. \text{Отсюда} \ \text{Рн} = 7,8;\ \text{Q}_n = 22;\ \text{P}_{\text{CT}} = \text{Рн}/1,2 = 6,5.\ \text{Налоговые поступления:}
НП1=0,2*6,5*22=28,6.
2. \ 20\% \ \text{от} \ \text{Рн}.\ \text{Qsh} = 20(\text{Рн} * (1-0,2)) - 108 = 16\text{Рн} - 108.\ \text{Приравниваем} \ \text{к} \ \text{Q}_d:
16\text{Рн} - 108 = 100 - 10\text{Рн}. \text{Отсюда} \ \text{Рн} = 8;\ \text{Q}_n = 20.\ \text{Налоговые поступления:}
\text{НП2} = 0,2 * 8 * 20 = 32.
\text{НП2} > \text{НП1}, \text{значит, выполняя приказ Короля, рынок логарифмических линеек нужно облагать налогом от новой цены.}
\text{Q}_{\text{Sct}} = 12\ln(5P/16) + 5P + 1;\ \text{Q}_d = -12\ln(P) + 4P + 1.\ \text{Найдем новую функцию предложения:}
\text{Qsh} = 12\ln\left(5\text{Pн}(1-0,2)/16\right) + 5*\text{Pн}(1-0,2) + 1 = 12\ln\left(\frac{\text{Рн}}{4}\right) + 4\text{Рн} + 1.\ \text{Приравниваем к} \ \text{Q}_d:
12\ln\left(\frac{\text{Рн}}{4}\right) + 4\text{Рн} + 1 = -12\ln(\text{Рн}) + 4\text{Pн} + 1; \ln\left(\frac{\text{Рн}}{4}\right) = \ln(\text{Рн}) = 0; \ln\left(\frac{\text{Рн}}{2}\right)/4 = 1; \text{Рн} = 2;\ \text{Q}_n = 0,682.\ \text{Налоговые поступления:}
\text{НП} = 0,2 * 2 * 0,682 = 0,2728 \ (\text{тысяч тугриков})
Ответ:
Q=682 линейки; P=2 тугрика; НП=272,8 тугриков.