Проблемы рынка хлеба и зрелищ
На рынке хлеба и зрелищ в стране Р. работают два типа фирм, издержки у тех и у других задаются функцией вида TC_i=a_iQ^2+b_iQ+c_i. Все фирмы воспринимают цену как заданную. Про спрос и предложение на рынке известно следующее:
Q_D = 40 - P
Q_S = \begin{cases} ***, & \text{если } P < *** \\ 3P - 35, & \text{если } P \geq *** \end{cases}
Пока главный экономист был в отпуске, король издал следующий указ:
В целях помощи фирмам, которым сложно выходить на рынок, сим постановляю возмещать в полном размере величину фиксированных издержек фирмам, которые по той или иной причин производят Q=0.
Когда главный экономист узнал о принятии такого закона, он прибежал в кабинет монарха и воскликнул:
- Что вы наделали! Ведь может оказаться, что у нас в стране не останется хлеба и зрелищ! - На это король ответил:
- Да, ошибся маленько, но ничего страшного, равновесное количество упало, но не до нуля.
- Ну, сокращение потребления на... На \alpha\% - это тоже очень серьезно, знаете ли! - ответил министр.
В момент данного разговора, главный экономист еще не мог наблюдать, что случилось на рынке. Он только держал в голове информацию о первоначальных функциях спроса и предложения (часть которой скрыта от вас). Восстановите значение \alpha .
Условие можно перефразировать следующим образом: есть два линейных предложения, сумма которых – Q_s=3P-35. При этом независимо от того, какое предложение исчезнет пересечение оставшегося предложения и спроса будет в одной и той же точке.
Тогда пусть это предложения Q_{s1}=c_1P-d_1 и Q_{s2}=c_2P-d_2. Тогда получаем систему уравнений, где P – равновесная цена в отсутствии одного из предложений:
\begin{cases} c_1 + c_2 = 3 \\ d_1 + d_2 = 35 \\ 40 - P = c_1 P - d_1 \\ 40 - P = c_2 P - d_2 \end{cases} \implies \begin{cases} 40 - P = c_1 P - d_1 & (1) \\ 40 - P = (3 - c_1)P - 35 + d_1 & (2) \end{cases}
P = \frac{40 + 35 - d_1}{4 - c_1} = \frac{75 - d_1}{4 - c_1} = \frac{75 + 40 - P - c_1 P}{4 - c_1} = \frac{115 - P - c_1 P}{4 - c_1}
4P - c_1 P = 115 - P - c_1 P \implies P = 23, \, Q = 40 - P = 17
При этом изначальное равновесие в
3P - 35 = 40 - P \implies P = 18.75, \, Q = 40 - P = 21.25
Тогда \Delta Q (\%) = \frac{21.25 - 17}{21.25} = 20\%