Если каждый гражданин в точке сообщает свой истинный доход r=x, то после уплаты налогов средний доход равен 0,9x. Мы знаем, что доход выше сообщаться не будет, поэтому рассмотрим r<x. Тогда доход после уплаты налогов в точке будет равен

(x^2 - rx)(0{,}9x - T) + (1 - x^2 + rx)(x - 0{,}1r)

Первое слагаемое — доля тех, кто будет оштрафован, умноженная на их доход.

Второе слагаемое — доля тех, кто не будет оштрафован, умноженная на их доход.

Найдем, какое сообщение r выгодно отправлять, для этого раскроем скобки.

0{,}9x^3 - Tx^2 - 0{,}9x^2r + xTr + x - 0{,}1r - x^3 + 0{,}1x^2r + x^2r - 0{,}1xr^2

Функция выше — парабола ветвями вниз, максимум в вершине

r_{\max} = \frac{-0{,}9x^2 + xT - 0{,}1 + 0{,}1x^2 + x^2}{0{,}2x} = \frac{0{,}2x^2 + Tx - 0{,}1}{0{,}2x}

Мы знаем, что r<x, то есть \frac{0{,}2x^2 + Tx - 0{,}1}{0{,}2x} < x, откуда x < \frac{0{,}1}{T} < 1. Иначе граждане предпочтут сообщать свой доход.

Кроме того, r\geq 0, следовательно, 0{,}2x^2 + Tx - 0{,}1 \ge 0. Слева парабола с ветвями вверх, которая пересекает 0 в точках

x_1 = \frac{-T - \sqrt{T^2 + 0{,}08}}{0{,}4}, \qquad x_2 = \frac{-T + \sqrt{T^2 + 0{,}08}}{0{,}4}.

Заметим, что x_1<0 и x_2>0, тогда

То есть для x\in[0;x_2] оптимальным будет r=0.

Итого ответ.

r^{*}(x, T) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \le x_2, \\[6pt] r^{\max}, & \text{если } x_2 < x \le \dfrac{0{,}1}{T}, \\[10pt] x, & \text{если } \dfrac{0{,}1}{T} < x. \end{cases}

Интуитивное объяснение того, что происходит в структуре ответа приведено ниже:

Граждане, имеющие высокий доход, предпочитают сообщать свой доход, а не обманывать, так как доля проверяемых (вероятность проверки) высока. Похожая интуиция верна и для граждан с низким доходом, т.к. (x-r)*x мал для малых для малых x при любых r, то у «бедных» граждан высокие стимулы называть не свой доход, всё-равно их скорее всего не проверят, поэтому они могут позволить себе сообщать доход в размере 0. А вот гражданам со средним доходом приходится думать, т.к. если они начнут сильно занижать доход, то налоговая раскроет их обман с большей вероятностью.