Непростое налогообложение
Граждане некоторой страны A живут на отрезке [0, 1]. При этом в каждой точке отрезка проживает одинаковое и достаточно большое количество граждан. Все граждане, живущие в точке с координатой x, x\in [0,1], получают доход x д.е. Например, если гражданин живет в точке 0,25, то он получает доход 0,25 д.е.
В стране A действует прогрессивная шкала налогообложения. С любого дохода ниже или равного \bar x=0,25 д.е. гражданин должен заплатить 10\%( t_1=0,1). Если доход выше этого уровня, то часть дохода \bar x=0,25 д.е. облагается по ставке 10\%, а с оставшейся части дохода необходимо заплатить 30\%(t_2=0,3).
Граждане должны самостоятельно декларировать свой доход: декларируемый доход r обязательно должно принадлежать интервалу [0,1], но может отличаться от истинного дохода гражданина, заявить другие варианты технически невозможно. При этом налоговая служба может проверить сообщение о доходе, и в случае обнаружения обмана со стороны конкретного гражданина взимать налог с его истинного дохода x и штраф в размере T, 0,36<T<0,39. Если же налоговая служба не обнаружила обман со стороны конкретного гражданина, то он платит подоходный налог с сообщённого им дохода r. Если все граждане с доходом x сообщат один и тот же уровень дохода r, то налоговая может обнаружить обман со стороны доли |x-r|*x из них. Соответственно, обман со стороны доли 1-|x-r|*x из них обнаружен не будет.
Зная то, как устроено взаимодействие с налоговой службой, жители каждой точки x совместно принимают решение о таком сообщаемом доходе r, чтобы при его сообщении количество денег, которое суммарно останется на счетах граждан в точке x после всех выплат налоговой службе, было максимальным.
Для удобства в данной задаче можно считать, что граждане и д.е. бесконечно делимы.
а) ( 6 баллов) Докажите, что ни в одной точке интервала x жители не могут получить выгоду от сообщения дохода больше истинного.
Рассмотрим некую координату \tilde{x} \in[0;1] и предположим, что граждане, живущие в данной координате, задекларировали доход \tilde{x} + \delta x, где \delta x > 0 и сумма \tilde{x} + \delta x лежит на отрезке [0;1]. Рассмотрим 2 случая и сравним с ситуацией, где жители \bar x сообщают реальный доход:
(1) Если налоговая зафиксирует обман, то жителям придется заплатить налог с настоящего дохода, обозначим его символом t\bar xt\tilde{x}, а также штраф T. Таким образом t\tilde{x}+T>t\tilde{x} и жителям не выгодно отправлять в налоговую доход больше настоящего.
(2) В случае, если налоговая служба не обнаружит обман, то жители \tilde{x} заплатят налог t\tilde{x} + t\delta x, где t\delta x символ, означающий налог с дополнительного дохода, о котором приврали жители. Но при этом, при декларировании реального дохода, выплата в налоговую была бы только t\tilde{x} < t\tilde{x} + t\delta x. Следовательно, в этом случае жителям также выгоднее отправить свой реальных доход и не обманывать налоговую.
Т.к. в обоих случаях жители \tilde{x} предпочтут назвать реальный доход, то и выгоду от сообщения дохода большего истинного они получить не могут.
б) ( 13 баллов) Власти подумали, что у граждан очень высокие стимулы сообщать неверный доход, поэтому решили упростить систему налогообложения, оставив только ставку 10\%(t_1=0,1) для любого уровня дохода. Найдите оптимальный сообщаемый гражданами доход r в зависимости от фактического дохода x и штрафа T. Проинтерпретируйте полученный результат.
Если каждый гражданин в точке сообщает свой истинный доход r=x, то после уплаты налогов средний доход равен 0,9x. Мы знаем, что доход выше сообщаться не будет, поэтому рассмотрим r<x. Тогда доход после уплаты налогов в точке будет равен
(x^2 - rx)(0{,}9x - T) + (1 - x^2 + rx)(x - 0{,}1r)
Первое слагаемое — доля тех, кто будет оштрафован, умноженная на их доход.
Второе слагаемое — доля тех, кто не будет оштрафован, умноженная на их доход.
Найдем, какое сообщение r выгодно отправлять, для этого раскроем скобки.
0{,}9x^3 - Tx^2 - 0{,}9x^2r + xTr + x - 0{,}1r - x^3 + 0{,}1x^2r + x^2r - 0{,}1xr^2
Функция выше — парабола ветвями вниз, максимум в вершине
r_{\max} = \frac{-0{,}9x^2 + xT - 0{,}1 + 0{,}1x^2 + x^2}{0{,}2x} = \frac{0{,}2x^2 + Tx - 0{,}1}{0{,}2x}
Мы знаем, что r<x, то есть \frac{0{,}2x^2 + Tx - 0{,}1}{0{,}2x} < x, откуда x < \frac{0{,}1}{T} < 1. Иначе граждане предпочтут сообщать свой доход.
Кроме того, r\geq 0, следовательно, 0{,}2x^2 + Tx - 0{,}1 \ge 0. Слева парабола с ветвями вверх, которая пересекает 0 в точках
x_1 = \frac{-T - \sqrt{T^2 + 0{,}08}}{0{,}4}, \qquad x_2 = \frac{-T + \sqrt{T^2 + 0{,}08}}{0{,}4}.
Заметим, что x_1<0 и x_2>0, тогда
То есть для x\in[0;x_2] оптимальным будет r=0.
Итого ответ.
r^{*}(x, T) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \le x_2, \\[6pt] r^{\max}, & \text{если } x_2 < x \le \dfrac{0{,}1}{T}, \\[10pt] x, & \text{если } \dfrac{0{,}1}{T} < x. \end{cases}
Интуитивное объяснение того, что происходит в структуре ответа приведено ниже:
Граждане, имеющие высокий доход, предпочитают сообщать свой доход, а не обманывать, так как доля проверяемых (вероятность проверки) высока. Похожая интуиция верна и для граждан с низким доходом, т.к. (x-r)*x мал для малых для малых x при любых r, то у «бедных» граждан высокие стимулы называть не свой доход, всё-равно их скорее всего не проверят, поэтому они могут позволить себе сообщать доход в размере 0. А вот гражданам со средним доходом приходится думать, т.к. если они начнут сильно занижать доход, то налоговая раскроет их обман с большей вероятностью.
в) ( 6 баллов) Определите, как изменится зависимость сообщаемого дохода от истинного дохода и штрафа, r(x,T), при небольшом увеличении штрафа T (таком, что ограничение 0,36<T<0,39 по-прежнему выполняется). Опишите, какие эффекты влияют на сумму платежей, поступающих налоговой службе. Достаточно указать два различных эффекта. (Если вы приведёте более двух эффектов, то оцениваться будут только первые два.)
Изменения функции:
(1) \frac{0,1}{T}<x снизится, значит, доля граждан, сообщающих истинный доход, вырастет.
(2) \dfrac{0{,}2x^{2} + Tx - 0{,}1}{0{,}2x} растет, получается, граждане сообщают доход не меньше чем раньше.
(3) x_2 снижается, следовательно, некоторые граждане, которые раньше сообщали 0 доход, начнут сообщать положительный.
Таким образом, r(x;T) не строго возрастает при малых увеличениях параметра T.
Из полученного выше решения можно сделать следующие выводы об изменении платежей налоговой службе.
(1) При увеличении T граждане с доходом x сообщают не меньший, чем раньше, доход r, поэтому при прочих равных условиях сборы налоговой службы не уменьшаются;
(2) При увеличении T не возрастает доля граждан с доходом x, обман которых обнаруживается (так как не убывает r ), в не большем количестве случаев уплачиваются налог с истинного дохода и штраф, а не налог с сообщаемого дохода (при этом первая величина больше второй), поэтому при прочих равных условиях сборы налоговой службы не увеличиваются.
(3) При увеличении T увеличивается сумма штрафа, который взимается с граждан, чей обман был обнаружен, поэтому при прочих равных условиях сборы налоговой службы не уменьшаются.