Рассмотрим функцию выручки фирмы TR(P) . Поскольку функция рыночного спроса кусочно-линейная с одним изломом, TR(P) будет иметь вид:

TR(P) = \begin{cases} f_1(P), & P < P_{изл}, \\ f_2(P), & P \geq P_{изл}, \end{cases}

где f_1(P) , f_2(P) — две квадратичные параболы с ветвями вниз, P_{изл} — точка излома рыночного спроса.

При вводе потолка цены на уровне x, фирма будет максимизировать TR(P) (поскольку переменные издержки отсутствуют), выбирая P \in [0; x] .

В зависимости от взаимного расположения двух парабол, TR(P) может иметь три качественно разных вида:

1) TR(P) сначала возрастает, потом убывает;

2) TR(P) имеет два локальных максимума, и значение в левом меньше, чем в правом;

3) TR(P) имеет два локальных максимума, и значение в левом равно правому.

Заметив, что в случаях 1) и 2) P^*(x) = \begin{cases} x, & x < P^{**}; \\ P^{**}, & x \geq P^{**}, \end{cases}, где P^{**} — точка глобального максимума выручки. График такой функции существенно проще, чем приведённый в условии. Значит, нам подходит только случай 3).

И действительно, в этом случае при максимизации TR(P) на отрезке [0; x] фирма выберет цену P = x , что удовлетворяет приведённому условию.

Отсюда получаем, что 7 — вершина параболы f_1(P) , а 21 — вершина параболы f_2(P) . При этом фирма безразлична между обслуживанием обеих групп по цене 7 и только "высокой" группы по цене 14.

f_2(14) = f_1(7) .

Пусть уравнения спроса двух групп имеют вид Q = a - bP , Q = c - dP , причем a/b > c/d (группа с параметрами a,b имеет более высокую максимальную цену спроса).

Тогда рыночный спрос описывается уравнением:

Q_{рын}(P) = \begin{cases} a + c - (b + d)P, & P \leq c/d, \\ a - bP, & c/d < P \leq a/b. \end{cases}

f_1(P) = (a + c - (b + d)P)P , ее вершина P_1^B = \frac{a + c}{2(b + d)} = 7 .

f_2(P) = (a - bP)P , ее вершина P_2^B = \frac{a}{2b} = 21 .

Условие f_2(14) = f_1(7) записывается как:

(a - 14b) \cdot 14 = (a + c - (b + d)7) \cdot 7.

При возможности дискриминации фирма максимизирует прибыль по двум ценам P_1 и P_2 . Прибыль фирмы, с точностью до постоянных издержек, равна:

\pi(P_1, P_2) = (a - bP_1)P_1 + (c - dP_2)P_2 \rightarrow \max

Слагаемые независимы, их можно максимизировать по отдельности. Отсюда P_1^* = \frac{a}{2b} , P_2^* = \frac{c}{2d} .

Поскольку мы уже знаем, что a/2b = 21 , P_1^* = 21 .

Осталось найти P_2^* = c/2d . Для этого поработаем с системой:

\begin{cases} \frac{a}{2b} = 21, \\ \frac{a + c}{2(b + d)} = 7, \\ (a - 14b) \cdot 14 = (a + c - (b + d)7) \cdot 7. \end{cases}

Из второго уравнения:

(b + d)7 = (a + c)/2 , подставляя это в правую часть третьего и деля на 7, получаем:

(a - 14b) \cdot 2 = a + c - (b + d)7.

Из первого уравнения a = 42b , подставляя это в уравнение выше, получаем 28b + 4 = 42b + c , откуда c = 70b .

Наконец, из второго уравнения системы \frac{42b + 70b}{2(b + d)} = 7, откуда d = 7b.

В итоге, P_2^* = \frac{c}{2d} = \frac{70b}{2 \cdot 7b} = 5 .

Ответ: 21 и 5. (Можно записать ответ в любом порядке.)

б) После разрешения дискриминации фирма не может пострадать, так как свобода ее действий расширяется, а значит, прибыль не может уменьшиться. Потребители «высокой» группы спроса (которые «богатые») не пострадают, так как независимо от наличия дискриминации они платят цену 21 (из анализа в а) следует, что в отсутствии дискриминации и потолка фирма будет обслуживать только «богатых» и выберет цену 21). Потребители «низкой» группы не только не пострадают, но даже выиграют, так как в отсутствие дискриминации они не потребляли товар вовсе (цена была слишком высока), а при дискриминации они потребляют товар. Значит, никто не пострадает.

Примечание 1: Для получения правильного вывода в б) достаточно понять, что график выручки TR(P) имеет вид типа 3); численный ответ в а) на анализ в б) не влияет.

**Примечание 2**: Приведенный пример является классическим примером того, как ценовая дискриминация может вести к Парето-улучшению, то есть изменению, при котором никому не хуже и хотя бы кому-то лучше.

Примечание 3: В условии не были даны числовые значения по оси P^*, так как их можно однозначно восстановить из того факта, что фирма максимизирует прибыль. Если оптимальная цена P^* находится на правой границе интервала [0; x], то P^*(x) = x, если же она внутри интервала, то небольшое изменение x не изменит оптимальную цену. Поэтому график P^*(x) всегда будет состоять из участков, лежащих на линии y = x и горизонтальных участков. Участки типа P^*(x) = x/2 просто невозможны.