Две группы потребителей и потолок цены
На некотором рынке есть две группы потребителей, функции спроса которых линейны. Монополист назначает единую цену для двух групп, так как ценовая дискриминация запрещена. Переменные издержки фирмы равны нулю. На рынке введён потолок цены, причём в разное время на разном уровне. Обозначим потолок цены за x, а цену, которую фактически устанавливает фирма при этом потолке, за P^*(x) . Наблюдая за реакцией фирмы на различные потолки цены, государство определило вид зависимости P^*(x) (см. график).
а) (9 баллов) Определите цены, которые фирма назначит для двух групп, если ценовая дискриминация будет разрешена, а потолок цен отменён.
б) (3 балла) Допустим, потолок цен введён. Пострадает ли кто-то из участников рынка (монополист, потребители первой или второй группы), если ценовая дискриминация будет разрешена?
Рассмотрим функцию выручки фирмы TR(P) . Поскольку функция рыночного спроса кусочно-линейная с одним изломом, TR(P) будет иметь вид:
TR(P) = \begin{cases} f_1(P), & P < P_{изл}, \\ f_2(P), & P \geq P_{изл}, \end{cases}
где f_1(P) , f_2(P) — две квадратичные параболы с ветвями вниз, P_{изл} — точка излома рыночного спроса.
При вводе потолка цены на уровне x, фирма будет максимизировать TR(P) (поскольку переменные издержки отсутствуют), выбирая P \in [0; x] .
В зависимости от взаимного расположения двух парабол, TR(P) может иметь три качественно разных вида:
1) TR(P) сначала возрастает, потом убывает;
2) TR(P) имеет два локальных максимума, и значение в левом меньше, чем в правом;
3) TR(P) имеет два локальных максимума, и значение в левом равно правому.
Заметив, что в случаях 1) и 2) P^*(x) = \begin{cases} x, & x < P^{**}; \\ P^{**}, & x \geq P^{**}, \end{cases}, где P^{**} — точка глобального максимума выручки. График такой функции существенно проще, чем приведённый в условии. Значит, нам подходит только случай 3).
И действительно, в этом случае при максимизации TR(P) на отрезке [0; x] фирма выберет цену P = x , что удовлетворяет приведённому условию.
Отсюда получаем, что 7 — вершина параболы f_1(P) , а 21 — вершина параболы f_2(P) . При этом фирма безразлична между обслуживанием обеих групп по цене 7 и только "высокой" группы по цене 14.
f_2(14) = f_1(7) .
Пусть уравнения спроса двух групп имеют вид Q = a - bP , Q = c - dP , причем a/b > c/d (группа с параметрами a,b имеет более высокую максимальную цену спроса).
Тогда рыночный спрос описывается уравнением:
Q_{рын}(P) = \begin{cases} a + c - (b + d)P, & P \leq c/d, \\ a - bP, & c/d < P \leq a/b. \end{cases}
f_1(P) = (a + c - (b + d)P)P , ее вершина P_1^B = \frac{a + c}{2(b + d)} = 7 .
f_2(P) = (a - bP)P , ее вершина P_2^B = \frac{a}{2b} = 21 .
Условие f_2(14) = f_1(7) записывается как:
(a - 14b) \cdot 14 = (a + c - (b + d)7) \cdot 7.
При возможности дискриминации фирма максимизирует прибыль по двум ценам P_1 и P_2 . Прибыль фирмы, с точностью до постоянных издержек, равна:
\pi(P_1, P_2) = (a - bP_1)P_1 + (c - dP_2)P_2 \rightarrow \max
Слагаемые независимы, их можно максимизировать по отдельности. Отсюда P_1^* = \frac{a}{2b} , P_2^* = \frac{c}{2d} .
Поскольку мы уже знаем, что a/2b = 21 , P_1^* = 21 .
Осталось найти P_2^* = c/2d . Для этого поработаем с системой:
\begin{cases} \frac{a}{2b} = 21, \\ \frac{a + c}{2(b + d)} = 7, \\ (a - 14b) \cdot 14 = (a + c - (b + d)7) \cdot 7. \end{cases}
Из второго уравнения:
(b + d)7 = (a + c)/2 , подставляя это в правую часть третьего и деля на 7, получаем:
(a - 14b) \cdot 2 = a + c - (b + d)7.
Из первого уравнения a = 42b , подставляя это в уравнение выше, получаем 28b + 4 = 42b + c , откуда c = 70b .
Наконец, из второго уравнения системы \frac{42b + 70b}{2(b + d)} = 7, откуда d = 7b.
В итоге, P_2^* = \frac{c}{2d} = \frac{70b}{2 \cdot 7b} = 5 .
Ответ: 21 и 5. (Можно записать ответ в любом порядке.)
б) После разрешения дискриминации фирма не может пострадать, так как свобода ее действий расширяется, а значит, прибыль не может уменьшиться. Потребители «высокой» группы спроса (которые «богатые») не пострадают, так как независимо от наличия дискриминации они платят цену 21 (из анализа в а) следует, что в отсутствии дискриминации и потолка фирма будет обслуживать только «богатых» и выберет цену 21). Потребители «низкой» группы не только не пострадают, но даже выиграют, так как в отсутствие дискриминации они не потребляли товар вовсе (цена была слишком высока), а при дискриминации они потребляют товар. Значит, никто не пострадает.
Примечание 1: Для получения правильного вывода в б) достаточно понять, что график выручки TR(P) имеет вид типа 3); численный ответ в а) на анализ в б) не влияет.
**Примечание 2**: Приведенный пример является классическим примером того, как ценовая дискриминация может вести к Парето-улучшению, то есть изменению, при котором никому не хуже и хотя бы кому-то лучше.
Примечание 3: В условии не были даны числовые значения по оси P^*, так как их можно однозначно восстановить из того факта, что фирма максимизирует прибыль. Если оптимальная цена P^* находится на правой границе интервала [0; x], то P^*(x) = x, если же она внутри интервала, то небольшое изменение x не изменит оптимальную цену. Поэтому график P^*(x) всегда будет состоять из участков, лежащих на линии y = x и горизонтальных участков. Участки типа P^*(x) = x/2 просто невозможны.