Чего больше: акций или облигаций?
На фондовом рынке страны RF торгуются акции и облигации. Обозначим через E_t и D_t (от англ. equity и debt) суммарную капитализацию (рыночную стоимость) всех акций и суммарную капитализацию всех облигаций на этом рынке в конце года t. Аналогично, через e_t и d_t обозначим капитализацию всех новых акций и облигаций, выпускаемых за год t.
Пусть p – вероятность того, что произвольная компания обанкротится в течение произвольного года, а T – измеряемый в годах срок погашения произвольной облигации. Допустим, что суммарная капитализация акций, также как и суммарная капитализация облигаций, постоянна от года к году (и положительна), при этом ежегодно новых акций в стоимостном выражении выпускается в k раз меньше, чем облигаций.
Наконец, чтобы упростить моделирование, дополнительно введём четыре предположения: (1 ) эмиссия новых ценных бумаг происходит в начале каждого года, а выплаты по ценным бумагам – в конце каждого года; (2 ) все компании, оперирующие в стране RF, одинаковы, а значит выпускаемые ими акции (и облигации) идентичны по всем параметрам; (3 ) стоимость каждой акции (и облигации) со временем не меняется; (4 ) вероятность дефолта акций и облигаций одной компании-эмитента одинакова и равна вероятности банкротства самой компании.
Ответьте на следующие вопросы, используя описанную модель фондового рынка, где необходимо. Обратите внимание, что на вопросы (a), (d) и (e) можно ответить, не решая пункты (b) и (c).
(a) Дайте определения акции и облигации. Перечислите основные отличительные черты этих ценных бумаг.
(b) Найдите отношение суммарной капитализации рынка акций к суммарной капитализации рынка облигаций, то есть величину E_t:D_t.
(c) Рассчитайте долю рынка акций во всём фондовом рынке, то есть величину E_t:(E_t+D_t), при следующих условиях: T=5, p=0,05 и k=10.
(d) Как отношениеE_t:D_t зависит от срока погашения облигаций T : положительно или отрицательно? А от вероятности дефолта p ? Дайте интуитивные объяснения.
(e) Согласно предположению (4), вероятность дефолта акций и облигаций одной компании-эмитента одинакова. Объясните, почему это утверждение довольно нереалистично. Как происходит на самом деле?
(a) Акция – это выпускаемая компанией ценная бумага, делающая её держателя совладельцем компании. Имеет некоторый номинал, но не имеет срока погашения, даёт владельцу право голоса на общем собрании акционеров, приносит дивиденды и прирост капитала. Облигация – долговая ценная бумага, не дающая её держателю права голоса и приносящая фиксированный доход. Приносит проценты в виде купонных платежей, имеет срок погашения (обычно) и некоторый номинал, который выплачивается по истечении срока погашения.
(b) Данная модель полностью описывается пятью уравнениями:
\begin{cases} E_t = (1 - p)E_{t-1} + (1 - p)e_t \\ D_t = \frac{T - 1}{T}(1 - p)D_{t-1} + (1 - p)d_t \\ E_t = E_{t-1} (=E) \\ D_t = D_{t-1} (=D) \\ e_t : d_t = 1 : k \end{cases}
Первое уравнение отражает динамику суммарной капитализации акций (с учётом выпуска новых акций и банкротства существующих компаний). Второе уравнение отражает динамику суммарной капитализации облигаций (с учётом погашения старых облигаций, выпуска новых облигаций и банкротства существующих компаний). Третье и четвёртое уравнения говорят о том, что суммарная капитализация акций и облигаций соответственно в конце каждого года одинакова. Пятое уравнение показывает, во сколько раз выпуск акций менее популярен чем выпуск облигаций.
Так как E_t=E_{t-1}=E=const, то для любого t имеем: E=(1-p)E+(1-p)e_t, следовательно e_t=e=const. А поскольку d_t=ke_t, то для любого t также выполнено d_t=d=const.
Упрощаем систему:
\begin{cases} E = (1 - p)E + (1 - p)e \\ D = \left( 1 - \frac{1}{T} \right)(1 - p)D + (1 - p)d \\ d = ke \end{cases} \implies \begin{cases} E = \frac{(1 - p)}{p}e \\ D = \frac{(1 - p)d}{1 - \left( 1 - \frac{1}{T} \right)(1 - p)} \\ d = ke \end{cases} \implies \begin{cases} E = \frac{(1 - p)}{p}e \\ D = \frac{(1 - p)ke}{1 - \left( 1 - \frac{1}{T} \right)(1 - p)} \end{cases}
Находим искомое отношение: E_t : D_t = E : D = \left( \frac{(1 - p)}{p} e \right) : \left( \frac{(1 - p)ke}{1 - \left( 1 - \frac{1}{T} \right)(1 - p)} \right) = \cdots = \frac{1}{k} \left( 1 + \frac{1 - p}{p} \cdot \frac{1}{T} \right)
(c) При T=5, p=0,05 и k=10 имеем:
E : D = \frac{1}{10} \left( 1 + \frac{(1 - 0.05)}{0.05} \cdot \frac{1}{5} \right) = 0.48 \implies E = 0.48D
Следовательно,
\frac{E}{E + D} = \frac{0.48D}{0.48D + D} = \frac{0.48}{1.48} = \frac{12}{37} \approx 32.4\%
(d) Ответ. Отношение E:D зависит от срока погашения облигаций T отрицательно: чем больше T, тем меньше E:D. От вероятности дефолта p отношение E:D также зависит отрицательно. Объяснение. Дело в том, что с ростом T "срок жизни" облигаций растёт, из-за чего их постоянный запас D (суммарная капитализация) увеличивается. А поскольку запас акций E не меняется, то отношение E:D падает. Если же возрастает вероятность дефолта p, то отношение запаса акций к запасу облигаций тоже снижается, но потому что акции в силу отсутствия срока погашения (и в отличие от облигаций) оказываются подвержены риску дефолта на протяжении более длительного времени.
(e) Ответ. В реальности вероятность дефолта акций, выпущенных некоторой компанией, превышает вероятность дефолта её облигаций (p_E>p_D). Объяснение. Причина в том, что в случае банкротства компании средства, вырученные от продажи её активов, в первую очередь выплачиваются держателям облигаций и только затем акционерам.