Сетевой эффект
В городе N имеется 120 предприятий, которые взаимодействуют друг с другом в процессе работы. Местная IT-компания разработала систему электронного документооборота, которая ускорит все процессы в городской экономике. Данная система является уникальной и не имеет аналогов. Чем больше предприятий используют систему, тем проще и быстрее будет коммуникация между ними. Поэтому готовность предприятия платить за систему электронного документооборота зависит не только от цены, но и от того, какое количество других предприятий также будут использовать эту систему: v(i) = \frac{Q}{75}(120 - i), где i — номер предприятия (от 1 до 120), v(i) — готовность предприятия i платить за программную лицензию. Q — общее количество предприятий, которые используют систему (включая i-е). Предприятие i покупает лицензию по цене P, если и только если его потребительский излишек v(i) - P неотрицателен. Средние издержки IT-компании на обслуживание одного предприятия, подключившегося к системе документооборота, равны 15 независимо от объема.
a) (5 баллов) Пусть D(Q,P) — количество фирм, которые захотят купить лицензию по цене P, если каждая из них ожидает, что ровно Q фирм купят лицензию. Назовите то количество фирм, купивших лицензию, которое имело бы место при P, если D(Q,P) = Q. IT-компания может выбирать любые P и Q, при условии, что Q является стабильным при цене P. Определите, какие P и Q выберет IT-компания, максимизирующая прибыль.
б) (5 баллов) Допустим, государство хочет вмешаться в данный рынок, чтобы максимизировать общественное благосостояние. Государство может директивно назначить любые P > 0 и Q \in {0,1,2,...,120}, такие, что Q является стабильным при цене P. Убытки IT-компании могут при необходимости компенсироваться из бюджета. Если государству безразлично, выбирает ли оно между несколькими ценами, оно выбирает наименьшую из них. Определите оптимальные для государства P и Q, при которых общественное благосостояние равно сумме излишков всех потребителей и прибыли IT-компании (учитывая возможные выплаты государства, если они есть).
в) (2 балла) Приведите содержательное экономическое объяснение того, почему оптимальная для общества цена в пункте б) больше (меньше, равна) MC. Этот пункт вы можете решить, не решая пункт б).
а) Данная ситуация характеризуется положительным сетевым (внешним) эффектом: выигрыш/полезность одного покупателя зависит от того, какое количество пользователей будет у товара. Чем больше пользователей, тем больше клиентская сеть и тем больше контактов может быть поддержано. В нашем случае чем больше предприятий приобретут систему электронного документооборота, тем быстрее будет между ними коммуникация и больше взаимная выгода. Чтобы определить, какое количество фирм приобретут систему документооборота при ожидаемом количестве пользователей Q, необходимо найти «крайнюю фирму»
i = x, для которой выполняется следующее условие: v(x) \geq P, v(x+1) < P. При этом IT-компания, максимизируя прибыль, при заданном Q будет назначать такую цену, при которой забирает весь потребительский излишек фирмы x, то есть P = 120 — 75P / Q.
В таком случае мы будем называть такую фирму x с нулевым потребительским излишком «безразличной фирмой».
Составляем функцию прибыли компании П(Q) = Q^2 / 75 (120 - Q^2) -15Q, которая начинается в точке (0,0) и имеет две точки экстремума: Q_1 = 5 и Q_2 = 75. Первый корень соответствует минимуму, а второй максимуму, поэтому оптимум IT-компании достигается при Q = 75 и P = 45. Соответствующий уровень прибыли равен 2250.
б) Общественное благосостояние состоит из суммарных выгод общества и общественных затрат на производство TC = 15Q. Суммарные выгоды общества складываются из потребительских излишков CS и дохода IT-компании TR = PQ. В этом случае общественное благосостояние не меняется, и компенсация убытков является всего лишь трансфером из государства производителю. Сумма потребительских излишков определяется как:
CS = \sum_{i=1}^{Q} (v(i) - P) = \frac{Q}{75} \left( 120Q - \sum_{i=1}^{Q} i \right) - PQ.
Принимаем формулу суммы арифметической прогрессии для определения функции общественного благосостояния, получаем:
SW = \left(\frac{Q}{75}\left(120Q - \frac{Q(Q+1)}{2} - PQ\right) + PQ - 15Q\right) = \frac{Q}{75}\left(120Q - \frac{Q(Q+1)}{2}\right) - 15Q.
Для определения точек экстремума необходимо найти производную функции благосостояния и проверить значения функции на концах интервала [0; 120].
SW' = \frac{239}{75}Q - \frac{Q^2}{2} - 15.
Q_1^0 = \frac{239}{75} - 75, \quad Q_2 = \frac{239}{3}.
Первый корень соответствует минимуму, второй корень соответствует максимуму, но он не достижим, т.к. превышает объем выпуска 120 штук. Причем на интервале от Q_1^0 до 120 благосостояние возрастает, поэтому оптимум будет при объеме выпуска 120. При нулевом выпуске благосостояние равно нулю, SW(0) = 0 > SW(Q_1^0 ).
Государство назначает цену P = 0 и размер сети составляет Q = 120.
в) P^* < MC в силу наличия положительного внешнего эффекта, который приводит к несостоятельности рыночного механизма. Даже совершенная конкуренция не является оптимальной, т.к. производители при принятии решений не учитывают выигрыши общества от сетевого эффекта. Поэтому свободный рынок предоставляет недостаточное количество товара, то есть имеется недопроизводство. Государство должно увеличить выпуск до оптимального с помощью понижения цены и компенсации убытков производителей.