КПВ и дискретный ресурс
Фирма производит два товара, X и Y, используя два ресурса: труд (L) и капитал (K). Общий запас ресурсов на фирме ограничен и составляет 100 единиц труда и 100 единиц капитала.
Производственные функции для товаров имеют вид:
X=K_XL_X,
Y=K_YL_Y,
где K_X, \ L_X, \ K_Y, \ L_Y — количества капитала и труда, направленные на производство товаров X и Y соответственно.
Фирма стремится максимизировать уровень потребления комплектов, состоящих из одной единицы товара X и двух единиц товара Y. При этом количество капитала, выделяемое на каждый товар, может выражаться только целым числом.
Определите максимальный уровень потребления таких комплектов.
Положим k единиц капитала отправляется для производства икса, а 100-k единиц для производства игрека. В этом случае X=kL_X или L_X=X/k, аналогично Y=(100-k)L_Y или L_Y=Y/(100-k). C учетом L_X+L_Y=100 имеем ограничение:
\frac{X}{k} + \frac{Y}{100 - k} = 100
С учетом X = Y/2 = N ( N - уровень потребления комплектов) имеем:
\frac{N}{k} + \frac{2N}{100 - k} = 100\\ N = \frac{100 \cdot k(100 - k)}{100 + k}
Найдем при каких k потребление от k будет не меньше потребления от k-1 :
N(k) \geq N(k - 1)\\ \frac{100 \cdot k(100 - k)}{100 + k} \geq \frac{100 \cdot (k - 1)(100 - (k - 1))}{100 + (k - 1)}
\frac{k(100 - k)}{100 + k} \geq \frac{(k - 1)(101 - k)}{99 + k}
Неравенство преобразуется до уровня k^2 + 199k - 10100 \leq 0 . Единственный неотрицательный корень квадратного уравнения k^2 + 199k - 10100 = 0 : k=\frac{83.84}{2} = 41.92. В этом случае неравенство k^2 + 199k - 10100 \leq 0 выполняется при 0 < k \leq 41, то есть N(k) \geq N(k-1) при k\leq 41, значит N(k) возрастает до k=41 и переходить до k=42 не выгодно, так как N(42)<N(41).
Откуда получаем ответ:
N(41) = \frac{100 \cdot 41(100 - 41)}{100 + 41} = \frac{100 \cdot 41 \cdot 59}{141} = \frac{241900}{141} = 1715 \frac{85}{141}
Ответ:1715\frac{85}{141}