КПВ и дискретный ресурс

Положим k  единиц капитала отправляется для производства икса, а 100-k единиц для производства игрека. В этом случае X=kL_X или L_X=X/k, аналогично Y=(100-k)L_Y или L_Y=Y/(100-k). C учетом L_X+L_Y=100 имеем ограничение:

\frac{X}{k} + \frac{Y}{100 - k} = 100

С учетом X = Y/2 = N ( N - уровень потребления комплектов) имеем:

\frac{N}{k} + \frac{2N}{100 - k} = 100\\ N = \frac{100 \cdot k(100 - k)}{100 + k}

Найдем при каких k потребление от k будет не меньше потребления от k-1 :

N(k) \geq N(k - 1)\\ \frac{100 \cdot k(100 - k)}{100 + k} \geq \frac{100 \cdot (k - 1)(100 - (k - 1))}{100 + (k - 1)}

\frac{k(100 - k)}{100 + k} \geq \frac{(k - 1)(101 - k)}{99 + k}

Неравенство преобразуется до уровня k^2 + 199k - 10100 \leq 0 . Единственный неотрицательный корень квадратного уравнения k^2 + 199k - 10100 = 0 : k=\frac{83.84}{2} = 41.92. В этом случае неравенство k^2 + 199k - 10100 \leq 0 выполняется при  0 < k \leq 41, то есть N(k) \geq N(k-1) при k\leq 41, значит N(k) возрастает до k=41 и переходить до k=42 не выгодно, так как N(42)<N(41).

Откуда получаем ответ:

N(41) = \frac{100 \cdot 41(100 - 41)}{100 + 41} = \frac{100 \cdot 41 \cdot 59}{141} = \frac{241900}{141} = 1715 \frac{85}{141}

1715\frac{85}{141}