Верблюд
На рынке воды в Сахаре работает Верблюд, который может пользоваться двумя колодцами. Из каждого колодца за день можно достать максимум N литров воды. Пусть q_i — объём воды, который Верблюд достал из колодца под номером i. Владелец колодцев назначил тариф на воду таким образом, что q_i -тый литр в каждом колодце стоит (N-q_i) сахарской песеты (предельная величина).
Выведите функцию издержек TC(q), если у Верблюда на добычу воды есть T часов. Издержки на время учитывать не нужно, ведь добыча воды — единственный род деятельности, доступный Верблюду. Рассмотрите два случая.
- N=1, T=3. Если q_i \leq 0.5, то на добычу воды из колодца под номером i тратится 2q_i часов. Если 0,5<q_i\leq 1, то на добычу каждого нового литра из этого колодца тратится 4 часа. Дорога между колодцами не занимает времени.
- N=10, T=15. Время, за которое Верблюд достанет q_i -тый литр из колодца равно ,2q_i. Дорога от одного колодца до другого занимает 6 минут. Прочие издержки отсутствуют.
Пункт 2
Так как цена литра убывает, то начав добычу из одного колодца, при наличии времени на производство желаемого объёма, фирма продолжит добычу из этого колодца. Таким образом из одного колодца можно добыть до 10 литров, и это подходит под ограничение по времени: 0,1*10^2=10<15.
Затем для увеличения объёма надо начать добычу в другом колодце, наращивая объём до тех пор, пока хватает времени. Не забываем про 6 минут=0,1 часа. Ограничение по времени выглядит таким образом при добыче сразу из обоих колодцев: q_1^2+q_2^2\leq 149. Из первого колодца добывается 10, поэтому из второго можно будет достать 7.
Чтобы ещё увеличить объём, надо уменьшить производства на первом колодце и увеличить на втором, потому что только так хватит времени, ведь на втором заводе один литр до сих пор добывается за меньшее время, чем на втором.
Запишем TC(q_1, q_2)= 10q_1-q_1^2/2+10q_2-q_2^2/2.
Можем подставить сюда q_1=Q-q_2.
Получится парабола ветвями вниз:TC=10Q-Q^2/2-Qq_2-q_2^2.
Вершина Q/2. Это больше 8,58 (и будет расти при росте объема), поэтому надо взять левое ограничение q_2.
Из ограничения по времени найдём ограничение на q_2 в зависимости от Q :
\frac{(Q - \sqrt{298 - Q^2})}{2} \leq q_2 \leq \frac{(Q + \sqrt{298 - Q^2})}{2}
Левая граница больше нуля (просто проверяется с помощью подставки, например 17 ). Также проверим, что левая граница действительно меньше вершины, получим \sqrt{298-Q^2}\geq0, что верно всегда для подходящих объемов.
Значит подставляем ее в издержки, получаем 10Q-149/2
Больше корня из 298 произвести нельзя: Q=q_1+\sqrt{149-q_1^2}.
Максимизируем, получаем q_1=q_2=\sqrt{149/2}
TC(Q) = \begin{cases} 10Q - \frac{Q^2}{2}, & Q \in [0; 10] \\ 20Q - \frac{Q^2}{2} - 100, & Q \in (10; 17] \\ 10Q - \frac{149}{2}, & Q \in (17; \sqrt{298}] \end{cases}