Пусть n — предполагаемая ежемесячная выплата, пусть x_0 — число претендентов на первую надбавку и y_0 — число претендентов на вторую. Тогда x_0 и y_0 неотрицательны и 59x_0+39y_0=n .

Докажем, что при любом n>59 \cdot 39=2301 уравнение 59x+39y=n имеет решение в натуральных числах. Отсюда будет следовать, что при любом n \geq 58 \cdot 38=2204 уравнение 59x_0+39y_0=n имеет решение в неотрицательных целых числах.

Во-первых, заметим, что 59 \cdot 2+39 \cdot (−3)=1, откуда 59 \cdot (2n)+39 \cdot (−3n)=n. Следовательно, уравнение 59x+39y=n имеет решение в целых числах при любом целом n. Если (x_0;y_0 ) — произвольное целое решение этого уравнения, то (x₀+39; y−59) и (x−39; y+59) — тоже его решения. Поэтому среди целых решений этого уравнения можно выбрать решение (x₀ ; y₀), для которого 1 \leq x_0 \leq 39. Тогда 59x_0 \leq 59 \cdot 39. Если n>59 \cdot 39, то y_0=\frac{n−59x_0}{39}>0, и, таким образом, (x₀;y₀) — решение уравнения 59x₀+39y₀=n в натуральных числах.

Осталось доказать, что уравнение 59x₀+39y₀=2300 не имеет решений в натуральных числах. Рассуждаем от противного. Пусть натуральные числа x₀ и y₀ таковы, что 59x₀+39y₀=2300. Тогда x₀ делится на 39, откуда 59x_0+39y_0>59 \cdot 39=2301. Противоречие. Итак, 2203 рублей — наибольшая сумма, кратная 12, которая не может быть выплачена в месяц. Следовательно, наибольшее значение выделенной для надбавок суммы могло составить 2203 \cdot 12=26436 рублей.

Ответ:

26436 рублей.