Найдем функцию предельного дохода фирмы от производства Q-той единицы хлеба MR(Q).

Допустим, фирма решила, что некоторую (по счету) буханку хлеба производить выгодно, и произвела ее. Если она продаст ее, то получит 12 руб. Найдем, сколько фирма получит в случае, если она решит сделать из нее сухарики.

Пусть Q_1 - общее количество буханок хлеба (включая нашу, последнюю буханку), которое пошло на изготовление сухариков, Q_{su} и P_{su} - количество и цена сухариков. Тогда

Q_1 = \frac{Q_{su}}{5} \Rightarrow 5Q_1 = 9000 - 1000P_{su}, \quad P_{su}(Q_1) = 9 - \frac{Q_1}{200}. TR_{su}(Q_1) = 5Q_1\left(9 - \frac{Q_1}{200}\right) \Rightarrow MR_{su}(Q_1) = 45 - \frac{Q_1}{20}.

Итак, если фирма направит эту буханку на производство сухариков Q₁-ой по счету, то предельный прирост выручки составит MR_{su}(Q_1)=45-\frac{Q_1}{20} руб. Не забудем, однако, что на изготовление сухариков из этой буханки фирма потратит 18 руб. В итоге предельная выгода фирмы составит 45-\frac{Q_1}{20}-18=27-\frac{Q_1}{20} руб.

Теперь представим себе, что фирма еще не произвела ни одной буханки. Куда она направит первые из них – на производство сухариков или на продажу? Видно, что при малых Q₁ 27-\frac{Q_1}{20} > 12 , то есть направлять хлеб на производство сухариков выгоднее. Фирма будет делать сухарики, пока Q₁ не вырастет настолько, что предельные выгоды от двух вариантов использования хлеба сравняются. Найдем это «критическое Q1;27-\frac{Q*_1}{20}=12= \Rightarrow Q*_1 = 300. В дальнейшем фирма будет продавать хлеб, так как это будет приносить большую предельную выгоду, чем производство сухариков.

Таким образом, функция MR(Q) имеет вид

MR(Q) = \begin{cases} 27 - \frac{Q}{20}, & \text{if } Q \leq 300; \\ 12, & \text{if } Q \geq 300. \end{cases}

MC(Q) = 0{,}02Q + 2. \quad MR(Q) = MC(Q) \Rightarrow Q = 500.

Итак, фирма произведет в общей сложности 500 буханок хлеба, из которых 300 направит на изготовление сухариков, а 200 – продаст.

Ответ:

3:2.

Примечание:

При нахождении MR_su(Q₁) была использована производная, то есть в задаче предполагалось, что количество хлеба может выражаться не только целым числом. Поэтому чисто математически под словами
«Q₁-ая по счету буханка» следует понимать бесконечно малый прирост производства хлеба, «стартующий» из точки Q₁.
При определении наиболее выгодного использования конкретной буханки хлеба мы считали, что эта буханка уже произведена и абстрагировались от предельных издержек ее производства именно потому, что мы искали функцию предельного дохода.
Одной из самых распространенных ошибок при решении этой задачи было «Q₁=5Q_su» вместо правильного

«Q₁=Q_su/5». Будьте внимательны!