МЭ 2021 10-11 задача 6
Бывший морской капитан Христофор Бонифатьевич Врунгель собирается поучаствовать в международной кругосветной парусной регате, но для этого ему нужна одномачтовая яхта (желательно с реактивным двигателем). Христофор Бонифатьевич обратился в банк за долгосрочным кредитом на 5 лет в размере 70 000 д.е. Банк выдал ему кредит под 10 % годовых с начислением процентов раз в год. Схема погашения кредита такова, что выплаты основного долга должны возрастать на 5000 д.е. каждый год, а также каждый год должны выплачиваться проценты на остаток основного долга. Найдите, какую сумму должен будет отнести в банк капитан Врунгель в конце третьего года.
Сначала определим величину первой уплаты основного долга D1. Так как кредит выдан на 5 лет и выплаты основного долга должны возрастать на 5000 д.е. каждый год, то
D1 + (D1 + 5) + (D1 + 2 \cdot 5) + (D1 + 3 \cdot 5) + (D1 + 4 \cdot 5) = 70 000.
Пользуясь формулами суммы арифметической прогрессии, где n = 5 – кол-во лет, на которые выдан кредит, получаем:
D_1 = \frac{70\ 000}{n} - \frac{(n - 1)}{2} \cdot 5\ 000 = \frac{70\ 000}{5} - \frac{5 - 1}{2} \cdot 5\ 000 = 4\ 000 \ \text{д.е.}
Тогда на начало третьего года остаток основного долга будет составлять 70 000 − (4000 + (4000 + 5000)) = 57 000. Тогда в конце третьего года банку нужно будет выплатить очередную порцию тела долга + проценты на остаток основного долга: (4000 + 5000 \cdot 2) + 57 000 \cdot 0,10 = 19 700.