(a) Обозначим национальный доход страны через Y, а численность населения – через N. Тогда средний душевой доход равен y=Y/N. Допустим, функция f(x) задаёт кривую Лоренца: x*100\% самых бедных граждан суммарно зарабатывают f(x)*100\% национального дохода. Соответственно, 0\leq x\leq 1 и 0\leq f(x)\leq1, функция f(x) является неубывающей, а также f(0)=0 и f(1)=1. Описанную в условии закономерность формально можно записать так:

\frac{Y(1 - f(x))}{N(1 - x)} = \frac{Yf(x)}{Nx} + a \frac{Y}{N} \iff \frac{1 - f(x)}{1 - x} = \frac{f(x)}{x} + a.

Преобразуем равенство и выражаем функцию f(x)=ax^2+(1-a)x. Кривая Лоренца никогда не убывает, следовательно, при любом 0\leq x\leq 1 должно выполняться условие

f'(x) = 2ax + (1 - a) \geq 0 \iff x \geq \frac{1}{2} - \frac{1}{2a}.

Чтобы это условие соблюдалось при любом 0\leq x\leq 1, оно должно выполняться при минимальном значении переменной x, то есть при x=0. Значит

\frac{1}{2} - \frac{1}{2a} \leq 0 \iff a \leq 1.

(В качестве альтернативы можно также сказать, что вершина параболы, задающей кривую Лоренца, должна иметь неположительную абсциссу: -(1-a)/2a\leq 0, из чего следует, что a\leq 1 ) По определению коэффициент Джини есть

GC = \frac{\frac{1}{2} - \int_0^1 f(x)dx}{\frac{1}{2}}

Производим расчёт: GC = 1 - 2 \int_0^1 f(x) dx = 1 - 2 \left( \left( \frac{a x^3}{3} + (1 - a) \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_0^1 \right) = 1 - 2 \left( \frac{a}{3} + \frac{1 - a}{2} \right) = \frac{a}{3}

Поскольку a\leq1, то GC=a/3\leq {1/3}. Вывод: в данной стране коэффициент Джини, действительно, не может быть больше 1/3 (такое значение GC достигается при a=1 ).

b) Пусть T – суммарный объём перераспределяемых доходов (это же сумма налогов, это же сумма трансфертов). Тогда требуется показать, что при грамотной налогово-транcфертной политике величина T/Y не превышает 1/4. Грамотная политика не предполагает, что кто-либо из граждан платит налоги и одновременно получает трансферты (в контексте задачи это нерационально, неэкономично). Вместо этого всё население делится на две группы: x_0*100\% самых бедных граждан получают трансферты (и не платят налоги), а (1-x_0)*100\% самых богатых граждан платят налоги (но не получают трансферты), причём 0\leq x_0\leq 1. В таком случае сумма налогов есть разница между новым (после уравнивания) суммарным доходом бедных граждан и их исходным суммарным доходом: T(x_0)=Yx_0-Yf(x_0). (Альтернативно можно сказать, что сумма налогов есть разница между исходным суммарным доходом богатых и их новым (после уравнивания) суммарным доходом: T(x_0)=Y(1-f(x_0))-Y(1-x_0=Yx_0-Yf(x_0)).

Итак, T(x_0)/Y=x_0-f(x_0). Наша задача – показать, что эта величина не превышает 1/4.

Рассмотрим худший случай, то есть найдём максимальное значение функции

\frac{T(x_0)}{Y} = x_0 - f(x_0) = x_0 - a x_0^2 - x_0 + a x_0 = a x_0 - a x_0^2 = a x_0 (1 - x_0) = (-a) x_0 (x_0 - 1).

График этой функции является параболой с корнями x=0 и x=1, ветви этой параболы направлены вниз (a>0). Следовательно, функция имеет единственную точку максимума x_0^*=1/2. Подставляем это значение обратно в функцию и получаем, что в худшем случае сумма налогов T(x_0^*) не превысит 1/4 национального дохода Y :

\frac{T(x_0^*)}{Y} = a \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{a}{4} \leq \frac{1}{4}.