Равенство через налоги
В правительстве заметили, что для каждого гражданина страны выполняется такая закономерность: средний доход тех, кто богаче данного гражданина, превышает средний доход тех, кто его беднее, на величину , где – средний душевой доход, – некоторая положительная константа.
(a) Докажите, что коэффициент Джини в этой стране не превышает .
(b) Докажите, что в условиях совершенной информации правительство может добиться полного равенства доходов, перераспределив между гражданами страны не более национального дохода посредством налогов и трансфертов.
Математическая справка:
-
Неопределённый интеграл от степени: .
-
Формула Ньютона-Лейбница: если .
(a) Обозначим национальный доход страны через , а численность населения – через . Тогда средний душевой доход равен . Допустим, функция задаёт кривую Лоренца: самых бедных граждан суммарно зарабатывают национального дохода. Соответственно, и , функция является неубывающей, а также и . Описанную в условии закономерность формально можно записать так:
Преобразуем равенство и выражаем функцию . Кривая Лоренца никогда не убывает, следовательно, при любом должно выполняться условие
Чтобы это условие соблюдалось при любом , оно должно выполняться при минимальном значении переменной , то есть при . Значит
(В качестве альтернативы можно также сказать, что вершина параболы, задающей кривую Лоренца, должна иметь неположительную абсциссу: , из чего следует, что ) По определению коэффициент Джини есть
Производим расчёт:
Поскольку , то . Вывод: в данной стране коэффициент Джини, действительно, не может быть больше (такое значение достигается при ).
b) Пусть – суммарный объём перераспределяемых доходов (это же сумма налогов, это же сумма трансфертов). Тогда требуется показать, что при грамотной налогово-транcфертной политике величина не превышает . Грамотная политика не предполагает, что кто-либо из граждан платит налоги и одновременно получает трансферты (в контексте задачи это нерационально, неэкономично). Вместо этого всё население делится на две группы: самых бедных граждан получают трансферты (и не платят налоги), а самых богатых граждан платят налоги (но не получают трансферты), причём . В таком случае сумма налогов есть разница между новым (после уравнивания) суммарным доходом бедных граждан и их исходным суммарным доходом: . (Альтернативно можно сказать, что сумма налогов есть разница между исходным суммарным доходом богатых и их новым (после уравнивания) суммарным доходом: .
Итак, . Наша задача – показать, что эта величина не превышает .
Рассмотрим худший случай, то есть найдём максимальное значение функции
График этой функции является параболой с корнями и , ветви этой параболы направлены вниз . Следовательно, функция имеет единственную точку максимума . Подставляем это значение обратно в функцию и получаем, что в худшем случае сумма налогов не превысит национального дохода :