Услуги на дому
Альберт и Бэлла открыли собственную компанию «Альбэ» по оказанию услуг на дому. Компания «Альбэ» осуществляет только косметический ремонт и генеральную уборку квартир. За 1 месяц Бэлла может произвести генеральную уборку 16 квартир или косметический ремонт 8 квартир. Альберт может за месяц отремонтировать 4 квартиры или убрать 2 квартиры. Альтернативные издержки косметического ремонта, измеренные в количестве генеральных уборок, у Альберта и Бэллы постоянны. В своей деятельности Альберт и Бэлла нацелены только на максимизацию выручки, поскольку необходимые материалы для ремонта и уборки квартир предоставляет их заказчик. Цены по оказанию услуг на дому фиксированы на рынке и на услуги компании «Альбэ» всегда найдется спрос по этим ценам.
Первоначально Альберт и Бэлла решили оказывать исключительно комплексную услугу, предполагающую осуществление косметического ремонта с последующей генеральной уборкой отремонтированной квартиры. Затем они решили, что выгоднее будет предоставлять услуги отдельно, а не в комплексе, и обнаружили, что их максимальная выручка выросла на 9000 ден. ед., при этом они по-прежнему оказывают оба вида услуг. Какова цена, по которой компания «Альбэ» предоставляет услуги по уборке, если известно, что за каждую услугу по ремонту они получают 8000 ден. ед.? Какой станет выручка после отказа от комплексных услуг?
Пусть y — количество отремонтированных квартир, а x — количество квартир, в которых проводится генеральная уборка. Уравнение кривой производственных возможностей компании, состоящей из двух сегментов, тогда имеет вид:
y = \begin{cases} 12 - \frac{x}{2}, & \text{если } 0 \leq x \leq 16 \\ 36 - 2x, & \text{если } 16 < x \leq 18 \end{cases}
Точка полной специализации: x = 16, \; y = 4 (Альберт занимается только ремонтом, Бэлла — только уборкой).
При осуществлении комплексной услуги количество ремонтов будет равно количеству уборок: y = x, а для достижения максимальной выручки компания постарается использовать все возможные ресурсы. Прямая y = x пересекает кривую производственных возможностей в первом сегменте, как это показано на рисунке. Тот же результат можно получить аналитически. Для этого необходимо решить систему уравнений:
\begin{cases} y = x \\ y = \begin{cases} 12 - \frac{x}{2}, & \text{если } 0 \leq x \leq 16 \\ 36 - 2x, & \text{если } 16 < x \leq 18 \end{cases} \end{cases}
Откуда находим, что y = x = 8 . Таким образом, Бэлла занимается и ремонтом, и уборкой, а Альберт только ремонтом. Выручка в этом случае:
TR = 8p_y + 8p_x = 64000 + 8p_x, где p_y = 8000, \; p_x — цена за один ремонт и одну уборку соответственно.
Найдем выручку компании после отказа от предоставления комплексных услуг, учитывая, что p_y = 8000 . Компания предоставляет оба типа услуг и максимально эффективно использует свои ресурсы.
TR_{otk} = \begin{cases} p_x \cdot x + 8000y = p_x \cdot x + 8000(12 - \frac{x}{2}), & 0 < x \leq 16 \\ p_x \cdot x + 8000y = p_x \cdot x + 8000(36 - 2x), & 16 < x < 18 \end{cases}
Заметим, что максимальная выручка при оказании обоих типов услуг могла бы быть достигнута только в следующих трёх ситуациях.
1. Альберт и Бэлла стали специализироваться каждый на своём типе услуг, т.е. компания предоставляет такое количество услуг, при котором каждый выполняет то, в чем имеет сравнительное преимущество: x = 16, y = 4 (Альберт занимается только ремонтом, Бэлла — только уборкой). Это возможно при 4000 < p_x < 16000. Поскольку известно, что выручка выросла на 9000 ден.ед., то
TR_{otk} = 16p_x + 4p_y = TR + 9000.
Так как p_y = 8000, то
TR_{otk} = 16p_x + 32000 = TR + 9000 = 8p_x + 64000,
откуда находим цену одной уборки p_x = 5125 ден.ед. и выручку после отказа от комплексных услуг: TR_{otk} = TR + 9000 = 114000 ден.ед.
2. Специализируется на ремонте только Альберт, поскольку имеет в этом сравнительное преимущество перед Бэллой, а Бэлла выполняет оба типа работ. Тогда максимальная выручка компании достигается только при p_x = 4000 . (Иначе, если p_x < 4000 , компания полностью отказалась бы от генеральной уборки). В этом случае максимальная выручка компании составит 96000, в то время как максимальная выручка компании при условии отказа от комплексных услуг составит TR = 8p_x + 8p_y = 64000 + 8 \cdot 4000 = 96000 . Такой результат подтверждает условие о максимальной выручке компании при отказе от комплексных услуг.
3) Специализируется на генеральной уборке только Бэлла, поскольку имеет в этом сравнительное преимущество перед Альбертом, а Альберт выполняет оба типа работ. Тогда максимальная выручка компании достижима только при px = 16000. (Иначе, при px > 16000, компания полностью отказалась бы от ремонта квартир.) В этом случае максимальная выручка компании составила бы 288000, в то время как максимальная выручка при осуществлении комплекса услуг была бы равна TR = 8py + 8px = 64000 + 8 * 16000 = 192000. Такой результат противоречил бы условию о возрастании максимальной выручки компании на 9000 при отказе от комплексных услуг. Итак, единственная возможность, при которой максимальная выручка возросла на 9000, когда Альберт специализируется на ремонте, а Бэлла – на генеральной уборке. При этом цена одной уборки px = 5125 ден.ед., а выручка после отказа от комплексных услуг составит 114000 ден.ед.