Задача 4.2. РЭ ПОШ – 2021 (11 класс)
На совершенно конкурентном рынке электромонтажных услуг работают 10 Сергеев и 10 Викторов. Известно, что издержки каждого Сергея описываются формулой TC_s=Q^2, а каждого Виктора - TC_v=Q^2/4+50Q. Спрос на электромонтажные услуги линеен, причем известно, что при снижении цены работ на 1 рубль объем спроса возрастает на 30 единиц. Потребители готовы приобрести 300 единиц услуг при цене на них в X рублей. Найдите, при каких значениях X Каждый Сергей будет получать большую прибыль, чем каждый Виктор.
Предложение Сергеев Q=5P, предложение Викторов Q=20P-1000.
Находим спрос: Q=A-30P. Знаем, что300=A-30X, \quad A=300+30X,\quad Q_d=300+30X-30P
Заметим, что при P<50 работают только Сергеи и условие выполняется.
Рассмотрим ситуацию, когда работают оба. Тогда суммарное предложение Q=25P-1000
Q_s = Q_d \\ 25P - 1000 = 300 + 30X - 30P \\ P = \frac{1300 + 30X}{55} \\ Найдем прибыль Сергея от P :
Q = \frac{P}{2} \\ Pr = PQ - Q^2 = \frac{P^2}{4} \\ Найдем прибыль Виктора:
Q = 2P - 100 \\ Pr = PQ - \frac{Q^2}{4} - 50Q = \frac{(2P - 100)^2}{4} \\ \frac{P^2}{4} > \frac{(2P - 100)^2}{4} \\ P < 100 \\ При P<50 прибыль Сергея также выше.
Найдем значения X :
P = \frac{1300 + 30X}{55} < 100 \\ X < 140
Ответ: X<140