а) Пусть мы продаём ноль единиц на обоих рынках. Тогда наша прибыль равна нулю. Это не максимальная прибыль: например, если вместо этого мы будем продавать 1 единицу на внутренний рынок, то получим прибыль (100 - 1) \cdot 1 - \frac{1^2}{2}, что больше нуля.

б) Раз не сказано иного, то будем полагать, что выпуск в данной задаче может принимать любые неотрицательные значения (например, можно произвести \pi "единиц"). Стало быть, под "выручкой от продажи последней единицы" подразумевается предельная выручка (производная общей выручки) при Q, равном объёму продаж.

Пусть на двух рынках мы продаём положительные объёмы Q_1 и Q_2, и при этом MR_1(Q_1) > MR_2(Q_2). Докажем, что в этом случае можно увеличить прибыль. Рассмотрим маленькие изменения объёмов продаж \Delta Q_1 > 0 и \Delta Q_2 = - \Delta Q_1. Суммарный объём продаж не изменился, поэтому издержки не изменились. Запишем суммарное изменение выручки:

\Delta TR_1 + \Delta TR_2 = \frac{\Delta TR_1}{\Delta Q_1} \cdot \Delta Q_1 + \frac{\Delta TR_2}{\Delta Q_2} \cdot \Delta Q_2 = \left( \frac{\Delta TR_1}{\Delta Q_1} - \frac{\Delta TR_2}{\Delta Q_2} \right) \cdot \Delta Q_1

Величина в скобках стремится к числу MR_1(Q_1) - MR_2(Q_2) > 0 при \Delta Q_1 \rightarrow 0 . Это значит, что мы можем подобрать такое достаточно близкое к нулю \Delta Q_1, чтобы величина в скобках отличалась от своего предела не больше, чем, скажем, на 99%. Это будет гарантировать, что величина в скобках положительна (иначе ей надо было бы отличаться от своего предела не меньше, чем на 100%). При этом \Delta Q_1 > 0, хоть и близко к нулю, но всё равно остаётся положительным. Перемножив два положительных числа, мы получим положительный прирост выручки. При неизменных издержках он равен приросту прибыли.

Заметим, что для этого доказательства существенно, чтобы объём продаж, соответствующий меньшему MR, был положительным, т. к. мы в процессе доказательства уменьшаем этот объём. Равным образом для доказательства существенно, что мы можем увеличить объём продаж, соответствующий большему MR, однако это менее интересно, т. к. обычно мы не накладываем на объём продаж ограничений сверху.

Если же при оптимальном распределении на каком-то рынке объём продаж нулевой, то предельная выручка на нём может быть и меньше, чем на остальных рынках. А вот больше, чем на каком-либо из рынков с положительным объёмом продаж, она быть не может: иначе мы могли бы перераспределить небольшой объём продаж с другого рынка на этот и тем самым увеличить прибыль.

в) Возьмём любой из этих рынков (рынок i ) и рассмотрим небольшое изменение выпуска \Delta Q. Рассуждения аналогичны предыдущему пункту: изменение прибыли составит \Delta TR_i - \Delta TC = \Delta Q \left( \frac{\Delta TR_i}{\Delta Q} - \frac{\Delta TC}{\Delta Q} \right). Величина в скобках стремится к MR_i(Q_i) - MC(Q) при Q \rightarrow 0 . Если эта разность больше нуля, то нужно взять небольшое положительное \Delta Q ; если разность меньше нуля, то нужно взять небольшое по модулю отрицательное \Delta Q. Это позволит увеличить прибыль.

г) Продав первые \Delta Q единиц на внутреннем рынке, мы получаем примерно MR_h(0) \cdot \Delta Q = 100 \Delta Q. Продав первые (да и любые) \Delta Q на внешний рынок, мы получаем MR_f(0) \cdot \Delta Q = P_f \cdot \Delta Q . Если P_f > 100, то внутренний рынок нам вовсе не нужен. Если P_f < 100, то какой-то (возможно, очень маленький) объём мы обязательно продадим на внутреннем рынке, т.к. получим от этого большую выручку, чем если бы мы продали этот объём на внешний рынок.

д) Если объёмы на обоих рынках положительны, то соответствующие эмэры равны.

MR_f(Q_f) = MR_h(Q_h)

P_f = 100 - 2Q_h

Q_h = \frac{100 - P_f}{2}