S004
Один итальянский город разделен рекой, через которую можно переправиться только на пароме. Единственным очагом культуры в данном городе является кукольный театр Карабаса-Барабаса, расположенный на левом берегу. Кстати, на левом берегу живет ровно в два раза меньше жителей, чем на правом. Жители правого берега переправляются на левый и обратно только с одной целью – посмотреть спектакль в театре КарабасаБарабаса. Все жители города имеют идентичные линейные функции спроса на билеты в театр. Однако следует учитывать, что жителям правого берега к цене каждого билета приходится добавлять плату за переправу на пароме. Паромщик назначает плату за переправу, никого не спрашивая и заботясь только о максимизации своей выручки. Карабас-Барабас, учитывая плату за переправу, назначенную паромщиком, устанавливает такую цену билета (одинаковую для всех жителей города), которая максимизирует выручку театра. Однажды Карабас-Барабас с целью увеличения выручки решил переместить театр с левого берега на правый (для простоты будем считать, что расходы на переезд театра равны нулю). Паромщик быстро сообразил, что его выручка в таком случае существенно уменьшится. Поэтому он решил отговорить Карабаса-Барабаса от его решения, пообещав навсегда уменьшить в несколько раз плату за переправу жителей на пароме. Во сколько раз паромщик должен уменьшить плату за переправу, чтобы Карабас-Барабас отказался от намерения переместить театр на правый берег?
В задаче не даны какие-либо конкретные значения или единицы измерения объемов и цен, поэтому функцию спроса жителей левого берега на билеты в театр можно выразить следующим образом: Q_L=1-P. На правом берегу население в два раза больше. Поэтому, если бы жителям правого берега не приходилось оплачивать паромную переправу, их функция спроса на билеты в театр имела бы вид: Q_R=2(1-P)=2-2P. Однако, учитывая, что к стоимости каждого билета в театр для жителя правого берега прибавляется стоимость переправы туда и обратно (обозначим величину этого тарифа как t ), указанная функция спроса принимает другой вид: Q_R=2-2(P+t).
Общая функция спроса для случая, когда театр находится на левом берегу:
Q = Q_L + Q_R = 1 - P + 2 - 2(P + t) = 3 - 3P - 2t.
Выручка театра: R = P Q = P (3 - 3P - 2t) = 3P - 3P^2 - 2tP.
При заданной паромщиком величине t Карабас-Барабас максимизирует выручку театра при условии: 3-6P-2t=0. P=0,5-1/3t. Число билетов в театр, купленное жителями правого берега (и, соответственно, число пассажиров парома): Q_R = 2 - 2(P + t) = 2 - 2(0.5 - 1/3 t + t) = 1 - 4/3 t. Выручка паромщика: (1-4/3t)t=t-4/3t^2. Максимум выручки достигается при условии: 1-8/3t=0. t=3/8. Максимальная выручка паромщика в случае, если театр находится на левом берегу: 3/8 - 4/3 (3/8)^2 = 0,1875.
Предположим, Карабас-Барабас переместил театр на правый берег. Функции спроса для жителей левого и правого берега принимают вид: Q_L=1-(P+t) ; Q_R=2-2P. Общая функция спроса: Q=Q_L+Q_R=3-3P-t. Выручка театра: R=PQ=P(3-3P-t)=3P-3P^2-tP.
Условие максимизации выручки театра: 3-6P-t=0. P=0,5-1/6t.
Число билетов в театр, купленное жителями левого берега (и, соответственно, число пассажиров парома): Q_L = 1 - (P + t) = 1 - (0,5 - 1/6 t + t) = 0,5 - 5/6 t. Выручка паромщика: (0,5-5/6t)t=0,5t-5/6t^2. Максимум выручки достигается при условии: 0,5-5/3t=0. t=0,3. Максимальная выручка паромщика в случае, если театр находится на правом берегу: 0,5*0,3-5/6*(0,3)^2=0,075.
Максимальная выручка театра в случае, если театр находится на правом берегу:
R = P(3 - 3P - t) = (0,5 - \frac{1}{6}t)[3 - 3(0,5 - \frac{1}{6}t) - t] = (0,5 - 0,05)(3 - 3 \times 0,45 - 0,3) = 0,6075.
Если паромщик хочет, чтобы театр остался на левом берегу, он должен установить такую величину тарифа t, при котором театр будет получать на левом берегу выручку не меньше 0,6075 (а лучше, если немного больше).
Т.е. R = P(3 - 3P - 2t) = (0,5 - \frac{1}{3}t)[3 - 3 *(0,5 - \frac{1}{3}t) - 2t] = \frac{1}{3}t^2 - t + 0,75 > 0,6075. 1/3t^2-t+0,1425\geq 0. Неравенство выполняется при t<0,15 и t>2,85. Очевидно, по смыслу задачи следует принять значение t<0,15.
Определим, во сколько раз паромщик должен снизить плату за переправу: (3/8):0,15=2,5. Таким образом, тариф следует снизить более чем в 2,5 раза.
Осталось выяснить один вопрос: будет ли паромщик после снижения тарифа получать доход не меньший, чем в случае, когда театр все же перемещается на правый берег. Итак, пусть t=0,15 (точнее, чуть меньше 0,15 ). Выручка паромщика в случае, если театр все же остался на левом берегу: t-4/3t^2=0,12 (точнее, чуть меньше 0,12 ) >0,075. Таким образом, паромщику выгодно снизить тариф для того, чтобы отговорить КарабасаБарабаса от перемещения театра.
Ответ. Более чем в 2,5 раза.