В задаче не даны какие-либо конкретные значения или единицы измерения объемов и цен, поэтому функцию спроса жителей левого берега на билеты в театр можно выразить следующим образом: Q_L=1-P. На правом берегу население в два раза больше. Поэтому, если бы жителям правого берега не приходилось оплачивать паромную переправу, их функция спроса на билеты в театр имела бы вид: Q_R=2(1-P)=2-2P. Однако, учитывая, что к стоимости каждого билета в театр для жителя правого берега прибавляется стоимость переправы туда и обратно (обозначим величину этого тарифа как t ), указанная функция спроса принимает другой вид: Q_R=2-2(P+t).

Общая функция спроса для случая, когда театр находится на левом берегу:

Q = Q_L + Q_R = 1 - P + 2 - 2(P + t) = 3 - 3P - 2t.

Выручка театра: R = P Q = P (3 - 3P - 2t) = 3P - 3P^2 - 2tP.

При заданной паромщиком величине t Карабас-Барабас максимизирует выручку театра при условии: 3-6P-2t=0. P=0,5-1/3t. Число билетов в театр, купленное жителями правого берега (и, соответственно, число пассажиров парома): Q_R = 2 - 2(P + t) = 2 - 2(0.5 - 1/3 t + t) = 1 - 4/3 t. Выручка паромщика: (1-4/3t)t=t-4/3t^2. Максимум выручки достигается при условии: 1-8/3t=0. t=3/8. Максимальная выручка паромщика в случае, если театр находится на левом берегу: 3/8 - 4/3 (3/8)^2 = 0,1875.

Предположим, Карабас-Барабас переместил театр на правый берег. Функции спроса для жителей левого и правого берега принимают вид: Q_L=1-(P+t) ; Q_R=2-2P. Общая функция спроса: Q=Q_L+Q_R=3-3P-t. Выручка театра: R=PQ=P(3-3P-t)=3P-3P^2-tP.

Условие максимизации выручки театра: 3-6P-t=0. P=0,5-1/6t.

Число билетов в театр, купленное жителями левого берега (и, соответственно, число пассажиров парома): Q_L = 1 - (P + t) = 1 - (0,5 - 1/6 t + t) = 0,5 - 5/6 t. Выручка паромщика: (0,5-5/6t)t=0,5t-5/6t^2. Максимум выручки достигается при условии: 0,5-5/3t=0. t=0,3. Максимальная выручка паромщика в случае, если театр находится на правом берегу: 0,5*0,3-5/6*(0,3)^2=0,075.

Максимальная выручка театра в случае, если театр находится на правом берегу:

R = P(3 - 3P - t) = (0,5 - \frac{1}{6}t)[3 - 3(0,5 - \frac{1}{6}t) - t] = (0,5 - 0,05)(3 - 3 \times 0,45 - 0,3) = 0,6075.

Если паромщик хочет, чтобы театр остался на левом берегу, он должен установить такую величину тарифа t, при котором театр будет получать на левом берегу выручку не меньше 0,6075 (а лучше, если немного больше).

Т.е. R = P(3 - 3P - 2t) = (0,5 - \frac{1}{3}t)[3 - 3 *(0,5 - \frac{1}{3}t) - 2t] = \frac{1}{3}t^2 - t + 0,75 > 0,6075. 1/3t^2-t+0,1425\geq 0. Неравенство выполняется при t<0,15 и t>2,85. Очевидно, по смыслу задачи следует принять значение t<0,15.

Определим, во сколько раз паромщик должен снизить плату за переправу: (3/8):0,15=2,5. Таким образом, тариф следует снизить более чем в 2,5 раза.

Осталось выяснить один вопрос: будет ли паромщик после снижения тарифа получать доход не меньший, чем в случае, когда театр все же перемещается на правый берег. Итак, пусть t=0,15 (точнее, чуть меньше 0,15 ). Выручка паромщика в случае, если театр все же остался на левом берегу: t-4/3t^2=0,12 (точнее, чуть меньше 0,12 ) >0,075. Таким образом, паромщику выгодно снизить тариф для того, чтобы отговорить КарабасаБарабаса от перемещения театра.

Ответ. Более чем в 2,5 раза.