Пикеттия
В стране Пикеттии есть три группы населения (бедные, средний класс и богатые), внутри каждой из которых доходы распределены равномерно. Бедные составляют 40\% населения и располагают 10\% суммарного дохода страны, средний же класс составляет 20\% населения и располагает 20\% суммарного дохода.
а) ( 8 баллов) Найдите коэффициент Джини, отражающий неравенство в распределении доходов между бедными и средним классом (не считая богатых).
б) ( 8 баллов) Найдите коэффициент Джини, отражающий неравенство в распределении доходов между средним классом и богатыми (не считая бедных).
в) ( 14 баллов) Правительство страны рассматривает два варианта перераспределительной политики, направленной на снижение неравенства. При первом доходы богатых не изменятся, но распределение доходов между бедными и средним классом станет равномерным. При втором варианте доходы бедных не изменятся, зато распределение доходов между средним классом и богатыми станет равномерным. При каком из двух вариантов коэффициент Джини в стране уменьшится сильнее?
Во всех пунктах мы будем использовать известную формулу для коэффициента Джини, если в стране есть две группы населения: G=\alpha-\beta, где \alpha – доля более бедной группы в населении, \beta – её доля в суммарном доходе. Выводить и доказывать эту формулу в рамках решения задачи не требуется.
а) Бедные составляют \frac{0.4}{0.4 + 0.2} = \frac{2}{3} от населения «страны», состоящей из бедных и среднего класса и располагают \frac{0.1}{0.1 + 0.2} = \frac{1}{3} её дохода.
Значит, искомый коэффициент Джини составляет G = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}
.
б) Богатые составляют 40\% населения и имеют 70\% дохода всей страны. Аналогично пункту (а), получаем, что искомый коэффициент Джини равен
G = \frac{0.2}{0.4 + 0.2} - \frac{0.2}{0.7 + 0.2} = \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = \frac{1}{9}
(более бедной группой является в данном случае средний класс)
в) Для ответа на поставленный вопрос достаточно рассчитать коэффициенты Джини после вмешательства. При первом варианте новый коэффициент Джини будет равен (0,4+0,2)-(0,1+0,2)=0,3, так как в стране будет единая более бедная группа, составляющая 60\% населения и обладающая 30\% дохода. При втором варианте новый коэффициент Джини будет равен 0,4-0,1=0,3. Значит, варианты равнозначны.
Графически ситуация сводится к следующему рисунку:
Построение кривых Лоренца для корректного решения необязательно, однако решение "напрямую" через расчёт площадей (без использования формулы G=\alpha-\beta ), конечно, возможно.
Примечание:
Можно подумать, что раз коэффициент Джини между бедным и средним классом больше, чем между средним классом и богатыми (1/3>1/9), то устранение неравенства между бедными и средним классом окажет больший эффект на снижение общего неравенства, чем устранение неравенства между средним классом и богатыми. Иными словами, ответы в (а) и (б) наталкивают на мысль, что первый вариант должен быть предпочтительнее. Пункт (в) показывает, что это необязательно так.