Во всех пунктах мы будем использовать известную формулу для коэффициента Джини, если в стране есть две группы населения: G=\alpha-\beta, где \alpha – доля более бедной группы в населении, \beta – её доля в суммарном доходе. Выводить и доказывать эту формулу в рамках решения задачи не требуется.

а) Бедные составляют \frac{0.4}{0.4 + 0.2} = \frac{2}{3} от населения «страны», состоящей из бедных и среднего класса и располагают \frac{0.1}{0.1 + 0.2} = \frac{1}{3} её дохода.

Значит, искомый коэффициент Джини составляет G = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

.

б) Богатые составляют 40\% населения и имеют 70\% дохода всей страны. Аналогично пункту (а), получаем, что искомый коэффициент Джини равен

G = \frac{0.2}{0.4 + 0.2} - \frac{0.2}{0.7 + 0.2} = \frac{1}{3} - \frac{2}{9} = \frac{1}{9}

(более бедной группой является в данном случае средний класс)

в) Для ответа на поставленный вопрос достаточно рассчитать коэффициенты Джини после вмешательства. При первом варианте новый коэффициент Джини будет равен (0,4+0,2)-(0,1+0,2)=0,3, так как в стране будет единая более бедная группа, составляющая 60\% населения и обладающая 30\% дохода. При втором варианте новый коэффициент Джини будет равен 0,4-0,1=0,3. Значит, варианты равнозначны.

Графически ситуация сводится к следующему рисунку:

Построение кривых Лоренца для корректного решения необязательно, однако решение "напрямую" через расчёт площадей (без использования формулы G=\alpha-\beta ), конечно, возможно.

Примечание:

Можно подумать, что раз коэффициент Джини между бедным и средним классом больше, чем между средним классом и богатыми (1/3>1/9), то устранение неравенства между бедными и средним классом окажет больший эффект на снижение общего неравенства, чем устранение неравенства между средним классом и богатыми. Иными словами, ответы в (а) и (б) наталкивают на мысль, что первый вариант должен быть предпочтительнее. Пункт (в) показывает, что это необязательно так.