Индекс HH
Для измерения степени рыночной концентрации часто используется индекс Херфиндаля–Хиршмана, равный сумме квадратов долей продаж всех компаний на рынке:
HH = s12 +... + sn2,
где n –– общее число фирм на рынке, а si –– доля фирмы i, i = 1,..., n. Чем выше значение индекса HH, тем более концентрирован рынок. Например, максимально возможное значение индекса достигается при монополии и равно 1.
а) (3 балла) Одна компания ушла с рынка, объемы выпуска остальных компаний при этом не изменились. В какую сторону может измениться индекс HH после этого?
б) (1 балл) Две компании решили объединиться, объемы выпуска остальных компаний при этом не изменятся, а объем выпуска объединенной компании равен сумме объемов выпуска объединившихся компаний. В какую сторону может измениться индекс HH?
в) (8 баллов) Может ли индекс HH быть равен 0,4 на рынке, на котором доля продаж самой крупной компании не превосходит 10 %? Если да, то приведите пример, указав доли продаж каждой фирмы. Если нет, то докажите
а) Индекс Херфиндаля-Хиршмана может измениться в любую сторону. Рассмотрим случай трех фирм, доли продаж которых равны 0,1; 0,1 и 0,8 соответственно. В этом случае HH = 0,66. Если с рынка уйдет фирма с долей продаж 0,1, то HH увеличится и станет равным 1/81 + 64/81 = 65/81 > 2/3 > 0,66. Если с рынка уйдет фирма с долей продаж 0,8, то HH уменьшится и станет равным 0,25 + 0,25 = 0,5. Индекс Херфиндаля-Хиршмана может также остаться точно таким же. В качестве примера рассмотрим 4 фирмы с долями продаж 1/2, 1/6, 1/6, 1/6. При такой структуре рынка индекс HH равен 1/4 + 3 1/36 = 1/3. Если уйдет фирма с долей продаж 1/2, то HH = 3 1/9 = 1/3.
б) Пусть на рынке были фирмы с долями продаж s1,...,sn, причем первая и вторая фирмы решили объединиться. Тогда до объединения
HH0 = s12 +... + sn2,
а после объединения
HH1 = (s1 + s2 ) 2 + s32 +... + sn2.
Раскрыв квадрат суммы в выражении для HH1, увидим, что HH1 − HH0 = 2s1s2 > 0, то есть индекс HH в результате объединения фирм увеличивается.
в) Так как s1 +... + sn = 1 и для любого i верно si 0,1, то имеем:
$HH = \sum_{i=1}^{n} s_i^2 \leq \sum_{i=1}^{n} \left( s_i \cdot 0.1 \right) = 0.1 \cdot \sum_{i=1}^{n} s_i = 0.1 < 0.4,$
поэтому индекс HH не может равняться 0,4.