а) Обозначим за x_1 вместимость трибуны за воротами, x_2 — центральной трибуны, x_1+x_2=x. Когда стадион уже построен, фирма при установлении цен будет воспринимать x_1 и x_2 как данные. При установке цен фирма просто будет максимизировать TR_1 или TR_{1+2} в зависимости от того, какой из случаев реализовался, при ограничении, что количество проданных абонементов не может быть больше, чем вместимость соответствующей трибуны.

Независимо от того, предъявляет ли спрос вторая группа, для фанатов фирма будет решать задачу q_1(60-q_1) \Rightarrow max при условии 0 \leq q_1 \leq 1.Ее решением является q_1^*=x_1 при x_1 \leq 30 и q_1^*=30 в противном случае.

Для ценителей красивой игры (если они присутствуют) задача аналогична: q_2(100-q_2) \Rightarrow max при условии 0 \leq q_2 \leq x_2. Ее решением является q_2^*=x_2 при x_2 \leq 50 и q_2^*=50 в противном случае.

В периоде 0 фирма будет выбирать x_1 и x_2, осознавая, что в будущем она будет выбирать объемы, найденные выше. Заметим, что выбирать x_1>30 или x_2>50 не может быть выгодно, так как дополнительных денег от продажи билетов это не принесет, а предельные издержки постройки дополнительных мест положительны. Поэтому при поиске оптимальных x_i мы можем ограничиться рассмотрением x_1 \leq 30 и x_2 \leq 50. Тогда ожидаемая приведенная стоимость будет равна

-5000 - 100(x_1 + x_2) + (0.5 TR_1 + 0.5 (TR_1 + TR_2)) \frac{1}{1 - \frac{1}{1 + r}} = -5000 - 100(x_1 + x_2) + \frac{1}{r} (x_1 (60 - x_1) + 0.5 x_2 (100 - x_2)) = 10x_1(60 - x_1) - 100x_1 + 5x_2(100 - x_2) - 100x_2 - 5000.

(Мы смогли воспользоваться формулой, данной на титульном листе, так как числители всех дробей оказались одинаковы.)

Заметим, что целевая функция является суммой двух слагаемых, каждое из которых зависит только от одной переменной, и поэтому мы можем максимизировать их по отдельности. Каждое из них является функцией, графиком которой является парабола с ветвями вниз, отсюда находим x_1^*=25, x_2^*=40.

Значит, p_1=60-25=35, p_2=100-40=60, а полная оптимальная вместимость стадиона равна 65.

б) Теперь фирма в каждом из случаев выбирает цену p и объем продаж q, воспринимая общую вместимость x как заданную. Вместимость x является переменной, которая потенциально влияет на выручку как в случае низкого, так и в случае высокого спроса, и связывает эти две ситуации.

Если спрос предъявляют только фанаты, задача максимизации выручки останется прежней, ее решением является q=x при x \leq 30 и q=30 в противном случае.

Если спрос предъявляют обе группы, фирма будет максимизировать выручку на суммарной функции спроса, имеющей вид

D(p) = \begin{cases} 100 - p, & 60 < p \leq 100; \\ 160 - 2p, & 0 \leq p \leq 60. \end{cases}

Легко проверить, что оптимальным объемом (при ограничении на вместимость) будет являться q^*=x при x<80 и 80 в противном случае.

Тогда при оптимальном выборе объемов

0.5TR_1 + 0.5TR_{1+2} = \begin{cases} 0.5x(60 - x) + 0.5x(100 - x), & x \leq 30; \\ 450 + 0.5x(100 - x), & 30 < x \leq 40; \\ 450 + 0.5x(80 - x/2), & 40 < x \leq 80; \\ 450 + 1600, & x > 80. \end{cases}

Обозначим эту функцию за f(x). Тогда ожидаемая приведенная стоимость равна \frac{1}{r} f(x) - C = 10f(x) - 100x - 5000. Выпишем эту функцию:

NPV(x) = -5000 + \begin{cases} 700x - 10x^2, & x \leq 30; \\ 450 + 400x - 5x^2, & 30 < x \leq 40; \\ 450 + 300x - 2.5x^2, & 40 < x \leq 80; \\ 20500 - 100x, & x > 80. \end{cases}

На каждом из участков, кроме последнего, графиком этой функции является парабола с ветвями вниз. При этом вершина параболы, соответствующей первому участку — x^*=35 — лежит справа от этого участка, поэтому функция монотонно возрастает на нем. Вершина параболы, соответствующей второму участку — x^*=45 x^*=60 лежит на его конце, и поэтому функция монотонно возрастает на втором участке. Вершина параболы, соответствующей третьему участку — x^*=60, принадлежит этому участку, а на последнем участке функция монотонно убывает. Поэтому оптимальная вместимость — x^*=60.

Таким образом, если спрос предъявляют только фанаты, фирма продаст 30 абонементов по цене 60-30=30, а если спрос предъявляют обе группы — 60 абонементов по цене 80−60/2=50.