"Ломаный" спрос: эластичность и точка излома
На рынке две группы потребителей, функции спроса которых линейны. Известно, что при ценах 4 и 12 суммы общей выручки, которую получают производители на данном рынке, одинаковы. Кроме того, в этих точках одинаковы и равны(−1,5) коэффициенты эластичности рыночного спроса по цене. Найдите цену в точке излома кривой рыночного спроса.
В двух точках, лежащих на одном отрезке, коэффициенты эластичности не могут быть одинаковы (чем больше цена, тем больше эластичность линейной функции спроса), поэтому точки P=12 и P=4 лежат на разных участках ломаной кривой рыночного спроса. При цене 12 спрос формирует только группа потребителей с более высокой максимальной ценой спроса (назовем ее первой), при цене 4 – обе группы.
Пусть Q=a−bP — спрос первой группы, Q=c−dP — спрос второй, Q_0 — объем рыночного спроса при P=12, Q_1 — объем рыночного спроса при P=4.
Тогда очевидно, что искомая цена в точке излома графика рыночного спроса — это не что иное, как максимальная цена спроса второй группы, то есть \frac{c}{d}.
Q=(a+c)−(b+d)P — уравнение рыночного спроса при P<\frac{c}{d}. Тогда по условию:
\frac{(b+d)4}{Q_1} = 1.5; 4Q_1 = 12Q_0 \implies Q_1 = 3Q_0; 4(b+d)=1.5Q_1=4.5Q_0=36b \implies d = 8b;
Так как суммы общей выручки при P=12 и P=4 равны, то
4(a+c-36b)=12(a-12b) \implies a + c - 36b = 3a - 36b \implies c = 2a
Подставляя b = \frac{d}{8} и a = \frac{c}{2} в формулу расчета коэффициента эластичности спроса при P=4, после преобразований получим:
\frac{(9/8)d \cdot 4}{1.5c-(9/8)d \cdot 4} = 1.5 \implies \frac{9}{3(c/d) - 9} = 1.5 \implies \frac{c}{d} = 5