Задача 4 ОЧ-2016 (9 класс)
Город Волгоград имеет очень необычную планировку. Он растянулся на километров с севера на юг вдоль правого берега Волги. Ширина города не превышает километров, а в самых узких местах город можно за несколько минут пройти пешком поперек. Вот он, настоящий линейный город! Для удобства обозначений будем считать самую северную точку Волгограда -ым километром, а самую южную – -ым.
Волгоградская область славится своим мягким козьим пухом из Урюпинска. Какая досада, что в этом городе нет ни одного специализированного магазина, продающего исключительно мягкий козий пух из Урюпинска. В городе планируется открыть таких магазина.
Продукция этих магазинов пользовалась бы спросом. Известно, что спрос на неё распределен равномерно вдоль реки Волга, то есть если, к примеру, в магазин станут ходить потенциальные покупатели, живущие в районе города с -ого по -ый километр, то это означает, что магазин удовлетворяет спроса. Также известно, что пух из Урюпинска настолько качественный, что покупатели готовы и все километров преодолеть, чтобы его заполучить, однако из двух магазинов они выберут ближайший. Если покупателям, проживающим по одному и тому же адресу, безразлично, в какой магазин идти, то одна половина из них пойдет в один магазин, а другая половина – в другой магазин.
- Как нужно расположить магазины с точки зрения минимизации максимального расстояния, которое покупателю придется преодолеть на пути от дома до магазина? Дайте аргументированный ответ, выраженный в километрах от самой северной точки города.
Предположим теперь, что магазины принадлежат разным продавцам, конкурирующим за покупателей друг с другом. Цена на пух определяется поставщиком и не зависит от местоположения магазина.
-
Где разместит магазин первый владелец, если он точно знает, где расположен магазин второго владельца? Дайте ответ для всех возможных расположений второго магазина.
-
Где разместит магазин второй владелец, если он точно знает, где расположен магазин первого владельца? Дайте ответ для всех возможных расположений первого магазина.
-
Есть ли такое расположение магазинов, при котором каждому владельцу в отдельности не выгодно менять расположение своего магазина?
-
Эффективно ли такое расположение с точки зрения планировки города? Аргументируйте свой ответ.
Будем обозначать расположение магазинов как и . Спрос на продукцию магазинов будем выражать в километрах и обозначать как , .
- В этом пункте без ограничения общности перенумеруем магазины так, что . Всем потребителям, живущим севернее км, ближе идти до магазина , а всем, живущим южнее, – до магазина .
Наиболее удаленный от магазинов покупатель может жить либо на окраине города ( км, км), либо ровно между магазинами . Таким образом, расстояние может быть равно или Опционально, школьник здесь может нарисовать график временных затрат для потребителя в зависимости от его места жительства.
Соответственно нам нужно минимизировать следующее выражение:
Минимум достигается там, где:
Ответ:
- Выразим функции спроса на магазин в зависимости от и :
Предположим, что . Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для магазина расположения находятся рядом с магазином , немного к югу от него.
Предположим, что . Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для магазина расположения рядом с магазином , немного к северу от него.
Предположим, что . Тогда, максимум функции достигается в точке .
3) Аналогично пункту 2 (Допускается именно такая фраза в решении)
- Если , то второму магазину выгодно быть рядом с магазином , но немного к югу. В таком случае магазину выгодно отклониться и переместиться немного к югу от магазина .
Аналогично для случая
В случае , оптимальный ответ: . В таком расположении никому не выгодно отклоняться и потому это равновесие.
- Нет, не эффективно. При таком расположении наибольшее расстояние до магазина составит , в то время как при эффективном раскладе расстояние составит .
Если строгость рассуждений и прозрачность решения не рушится, некоторые отсутствующие в решении школьника пункты можно засчитывать, при условии верно данного ответа.