Будем обозначать расположение магазинов как x_1 и x_2. Спрос на продукцию магазинов будем выражать в километрах и обозначать как Q_1, Q_2.

1) В этом пункте без ограничения общности перенумеруем магазины так, что x_1\leq x_2. Всем потребителям, живущим севернее (x_1+x_2)/2 км, ближе идти до магазина 1, а всем, живущим южнее, – до магазина 2.

Наиболее удаленный от магазинов покупатель может жить либо на окраине города ( 0 км, 60 км), либо ровно между магазинами (x_1+x_2)/2. Таким образом, расстояние может быть равно x_1, 60-x_2 или \frac{x_1 + x_2}{2} - x_1 = \frac{x_2 - x_1}{2}. Опционально, школьник здесь может нарисовать график временных затрат для потребителя в зависимости от его места жительства.

Соответственно нам нужно минимизировать следующее выражение:

\max\left(x_1, 60 - x_2, \frac{x_2 - x_1}{2}\right) \to \min

Минимум достигается там, где: \begin{cases} x_1 = 60 - x_2 \\ x_1 = \frac{x_2 - x_1}{2} \end{cases}

Ответ: \begin{cases} x_1 = 15 \\ x_2 = 45 \end{cases}

2) Выразим функции спроса на магазин 1 в зависимости от x_1 и x_2 :

Q_1(x_1, x_2) = \begin{cases} x_1 + \frac{x_2 - x_1}{2}, & x_1 < x_2 \\ 60 - x_1 + \frac{x_1 - x_2}{2}, & x_2 < x_1 \\ 30, & x_1 = x_2 \end{cases}

Предположим, что x_2<30. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения находятся рядом с магазином 2, немного к югу от него.

Предположим, что x_2>30. Тогда, строго говоря, функция не достигает своего максимума, но наиболее выгодные для 1 магазина расположения рядом с магазином 2, немного к северу от него.

Предположим, что x_2=x_1=30. Тогда, максимум функции достигается в точке x_1=x_2.

3) Аналогично пункту 2 (Допускается именно такая фраза в решении)

4) Если x_1<30, то второму магазину выгодно быть рядом с магазином 1 (x_2<30), но немного к югу. В таком случае 1 магазину выгодно отклониться и переместиться немного к югу от магазина 2.

Аналогично для случая x_1>30

В случае x_1=30, оптимальный ответ: x_2=30. В таком расположении никому не выгодно отклоняться и потому это равновесие.

5) Нет, не эффективно. При таком расположении наибольшее расстояние до магазина составит 30, в то время как при эффективном раскладе расстояние составит 15.

Если строгость рассуждений и прозрачность решения не рушится, некоторые отсутствующие в решении школьника пункты можно засчитывать, при условии верно данного ответа.