Задача 1 ОЧ-2014 (9 класс)
В сказочной республике Экоматемашии в скором времени состоятся парламентские выборы. За власть в стране борются две партии – Богачи и Бедняки. В распоряжении партии Бедняков имеется 1 очий (денежная единица Экоматемашии), в распоряжении Богачей – 25 очиев, и это открытая информация. Каждая из партий максимизирует долю мест в парламенте. Богачи и Бедняки не любят друг друга и не будут договариваться о каком-либо сотрудничестве, даже если оно взаимовыгодно.
За несколько дней до голосования в штабах обеих партий раздались телефонные звонки. Звонил назначенный главой избирательной комиссии чиновник Непротивоткатов, чтобы пригласить представителей обеих партий на закрытую встречу. На встрече он заявил: «Вы должны понимать, что окончательные решения относительно исхода голосования буду принимать я. Предлагаю играть в открытую: в зависимости от того, сколько денег вы мне дадите в качестве взятки, я могу изменить результаты партии ваших конкурентов. Доля мест вашей партии в парламенте будет пропорциональна доле индекса избираемости к сумме индексов двух партий. Если Бедняки заплатят мне x очиев, индекс избираемости Богачей составит I_r=x^2-2x+1,5. Если Богачи заплатят мне y очиев, индекс избираемости Бедняков составит I_p=y^2-50y+625,5 ».
Если обе партии действуют рационально, какая из них получит большинство в парламенте? Сколько денег потратят на взятку Бедняки, а сколько – Богачи? Учтите, что никакая партия не заинтересована тратить денег больше, чем необходимо! Аргументируйте свои ответы.
Для начала разберёмся, какой минимальный индекс избираемости может обеспечить конкуренту каждая из партий.
I_r = (x - 1)^2 + 0,5 \implies I_{r \min} = I_r(1) = 0,5
I_p = (y - 25)^2 + 0,5 \implies I_{p \min} = I_p(25) = 0,5
I_r = I_p
Поскольку у каждой партии имеется в распоряжении необходимое для минимизации индекса избираемости соперника количество очиев, предположим, что для каждой партии оптимально потратить на взятку все имеющиеся в распоряжении деньги. Теперь докажем, что полная трата денег действительно является оптимальной стратегией для каждой из партий. Проведём рассуждение для партии Богачей (для Бедняков доказательство аналогично).
Обратим внимание, что целевой функцией партии Богачей является f_r=I_r/(I_r+I_p) («Доля мест вашей партии в парламенте будет пропорциональна вашему индексу избираемости»). Эту функцию нужно максимизировать. Но по какой переменной? По I_p – ведь именно на этот параметр Богачи могут влиять. Тогда, принимая I_r в качестве константы, \max \left[ \frac{I_r}{I_r + I_p} \right] \iff \min [I_p] (квадратные скобки означают целую часть). Значит, для максимизации доли мест в парламенте необходимо минимизировать индекс конкурентов, и найденная выше стратегия на самом деле оптимальна. Трата всех имеющихся денег не является «тратой большей, чем необходимо».
Таким образом, Богачи потратят на взятку 25 очиев, Бедняки – 1 очий. При этом их индексы избираемости совпадут, и ни одна из партий не сможет обеспечить парламентское большинство – места между ними разделятся поровну.
Этого же результата можно было бы добиться и с меньшими затратами: например, если бы Бедняки договорились с Богачами потратить 0 очиев, а Богачи – 24 очия, их индексы избираемости снова совпали бы, и исход оказался бы тем же. Но кооперация запрещена условием: «Богачи и Бедняки не любят друг друга и не будут договариваться о каком-либо сотрудничестве, даже если оно взаимовыгодно».
Ответ:
Ни одна из партий не получит большинство, каждый потратит по максимуму: 1 и 25 очиев.