От ВВП к КПВ
В мире, где могут производиться только товары X и Y, страна Альфа является малой открытой экономикой, то есть может покупать и продавать любое количество этих товаров по фиксированным ценам. Мировой валютой является международный тугрик (м.т.). Мировая цена товара X равна p м.т., а мировая цена товара Y равна 1 м.т.
В разное время значение p было разным, меняясь в пределах от 1/4 до 1 включительно. Из исторических данных вы знаете, что валовой внутренний продукт (ВВП) страны по паритету покупательной способности (стоимость произведенных страной товаров в мировой валюте) зависит от p по следующему правилу:
ВВП(p) = 1 + 2p - 2\sqrt{p} \text{ м.т.}
Эта формула верна для каждого p \in [1/4; 1].
Обозначим максимально возможные объемы производства товаров в стране за X_{\max} и Y_{\max}. При каждом p объемы производства в стране Альфа выбираются так, что в стране стали доступны объемы потребления товаров, лежащие на кривой торговых возможностей (КТВ). Известно, что альтернативные издержки производства каждого из товаров положительны и строго возрастают, и что для любого объема X_0 \in [0; X_{\max}] существует такая мировая цена p \in [1/4; 1], при которой в стране производится ровно X_0 единиц товара X.
a) (4 балла) Найдите X_{\max} и Y_{\max}.
б) (1 балл) Для каждого p \in [1/4; 1] запишите уравнение КТВ страны Y как функцию от X.
в) (7 баллов) Восстановите уравнение КТВ страны Y как функцию от X. Подсказка: это можно сделать без использования производной.
a) Из строго возрастающих альтернативных издержек следует, что страна будет выбирать объемы производства в точке касания КТВ и КТВ, или в точке пересечения КТВ и КТВ, если это одна из двух крайних точек КТВ.
Вот текст с изображения:
Пусть X^{*}(p) и Y^{*}(p) — объемы производства товаров X и Y в стране как функции от p. Из геометрических соображений о касании следует, что X^{*}(p) возрастает (хоть бы не строго). Предположим, что X^{*}(1) < X_{\max} . Тогда, в силу возрастания X^{*}(p) , X^{*}(1) \leq X_{\max} для всех p \in [1/4; 1] , а значит, для значений X_0 \in (X^{*}(1); X_{\max}) не существует цены p \in [1/4; 1] , такой, что X^{*}(p) = X_0. По условию же такая цена существует. Значит, предположенное нами неравенство X^{*}(1) < X_{\max} неверно, и следовательно, X^{*}(1) = X_{\max} и Y^{*}(1) = 0 .
Аналогично, X^{*}(1/4) = 0, а Y^{*}(1/4) = Y_{\max}. Теперь можно найти X_{\max} и Y_{\max} из данных о ВВП при ценах 1 и 1/4 соответственно:
X_{\max} + 0 = 1 \cdot X^{*}(1) + Y^{*}(1) = ВВП(1) = 1.
0 + Y_{\max} = (1/4) \cdot X^{*}(1/4) + Y^{*}(1/4) = ВВП(1/4) = 1/2.
Ответ: X_{\max} = 1, Y_{\max} = 1/2.
б) Уравнением КТВ является прямая pX + Y = ВВП(p) (при движении вдоль КТВ стоимость произведенных товаров в международных ценах не меняется). Отсюда:
Y = ВВП(p) - pX = 1 + 2p - 2\sqrt{p} - pX = 1 - 2\sqrt{p} + p(2 - X).
в) Мы знаем, что крайние точки КТВ — (1, 0) и (0, 1/2) . Теперь нам нужно найти все остальные точки на КТВ.
Вот текст с изображения:
Способ 1 (без использования производной).
Докажем, что чтобы найти уравнение КТВ, нам нужно всего лишь проминимизировать найденное выше уравнение КТВ по p. Это следует из того, что КТВ является нижней обволакивающей семейства КТВ.
А именно, пусть искомое уравнение есть Y = \text{КТВ}(X) . Поскольку для любого p КТВ лежит не выше КТВ, получаем, что для любого X \in [0; X_{\max}] и любого p \in [1/4; 1] верно неравенство
\text{КТВ}(X) \leq 1 - 2\sqrt{p} + p(2 - X) {8.1}
Но возьмем некий фиксированный объем X и рассмотрим цену p_0(X) \in [1/4; 1] , при которой в стране производится именно этот объем X (такая цена есть по условию). Поскольку при этой цене производится именно объем X, при объеме X и цене p_0(X) значения КТВ и КТВ совпадают, то есть в (8.1) достигается равенство.
Итак, мы получили, что для всех p \in [1/4; 1] верно неравенство (8.1), причем при каком-то p \in [1/4; 1] оно выполняется как равенство (этот факт проиллюстрирован на рис. 8.1). А это значит, что при каждом X КТВ X равно минимальному значению функции
f(p) = 1 - 2\sqrt{p} + p(2 - X)
на отрезке [1/4; 1] . Осталось найти это минимальное значение. f(p) является квадратичной функцией от t = \sqrt{p} . Поскольку X \leq X_{\max} = 1 < 2 , ветви параболы направлены вверх (здесь мы существенно использовали найденное ранее значение X_{\max} = 1 ). Поскольку p \in [1/4; 1] , вершина имеет абсциссу
\[
t_B = \frac{1}{2 - X},
\]
что принадлежит отрезку \( [1/2; 1] \); при \( 0 \leq X \leq 1 \), значит, это действительно точка минимума. Отсюда
p_0(X) = \frac{1}{(2 - X)^2}
и
\text{КТВ}(X) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2 - X} + 1 = \frac{1}{(2 - X)}.
Способ 2 (через анализ производных).
Пусть X(p) и Y(p) — объемы производства товаров в стране. Для каждого p выполнено тождество
Y(p) + p \cdot X(p) = ВВП(p) = 1 + 2p - 2\sqrt{p}.
Рис. 8.1: Идея решения: значение КТВ равно минимальному из значений всех КТВ на вертикальной прямой (при фиксированном X ). На рисунке изображены три КТВ, включая ту, значение которой при данном X минимально среди всех КТВ (изображена красным).
Продифференцируем его по p, получим
Y'(p) + 1 \cdot X(p) + X'(p)p = 2 - \frac{1}{\sqrt{p}}. {8.2}
Теперь заметим, что поскольку страна всегда находится в точке на КТВ, Y(p) и X(p) связаны тождеством Y(p) = КТВ(X(p)).
Продифференцируем его:
Y'(p) = КТВ'(X(p)) X'(p).
Но поскольку экономика находится в точке касания КТВ и КТВ, а наклон КТВ равен -p, для любого p выполнено: КТВ'(X(p)) = -p.
Подставляя это соотношение в предыдущее равенство, получаем, что: Y'(p) = -p X'(p).
Подставляя это в (8.2), получаем, что X'(p) сокращается, и в итоге: X(p) = \frac{2}{1 - \sqrt{p}}.
Выражая отсюда p, получаем, что цена p_0(X) , при которой оптимально производить ровно X единиц товара X, задается как:
p_0(X) = \frac{1}{(2 - x)^2}
Поскольку при такой цене КТВ и КТВ в точке X совпадают, найти КТВ можно, подставив эту цену в уравнение КТВ.
Ответ: Y(X) = \frac{1 - X}{2 - X} .
Примечание 1: Как видим из этого уравнения КТВ, X_{\text{max}} = 1 и Y_{\text{max}} = 1/2 , все сошлось. При данной КТВ, являющейся участком гиперболы, альтернативные издержки производства действительно строго возрастают, см. рис. 8.1. Решив прямую задачу, можно проверить, что при данной КТВ ВВП описывается как раз функцией, данной в условии.
Примечание 2: Приведенный метод восстановления КТВ по данным о ВВП работает при любом числе товаров. Предположим, что в открытой экономике есть 1000 товаров, а именно, товары X_1, X_2, \dots, X_{999} . Пусть p_i — цена товара X_i , а цена товара Y принята за единицу. Допустим, мы смогли оценить зависимость ВВП от 999 цен p_1, p_2, \dots, p_{999} , и получили функцию ВВП(p_1, p_2, \dots, p_{999}) . Тогда мы можем точно так же сначала восстановить КТВ как:
КТВ = ВВП(p_1, p_2, \dots, p_{999}) - p_1 X_1 - p_2 X_2 - \dots - p_{999} X_{999},
а затем найти 1000-мерную КТВ Y(X_1, X_2, \dots, X_{999}) , проминимизировав это выражение для КТВ по всем ценам p_1, p_2, \dots, p_{999} . Обоснование этого метода ровно то же, что и в случае двух товаров.