Диалог об эффективности.
Как-то в столовой Совбака обсуждалось введение субсидий: потоварной или аккордной. Существует общеизвестная точка зрения, что аккордная субсидия хуже тем, что при прочих равных не стимулирует агентов.
Рассмотрим модель, в которой вам предлагается это проверить:
Существует множество семей, которые откладывали весь месяц крупную фиксированную сумму на путешествие, часть из которой могут сберечь ( 1 сбереженная денежная единица приносит ровно 1 единицу полезности для простоты). То есть функция полезности семьи зависит только от сбережённых денег и дней путешествия, положительно, разумеется.
Спрос на туры имеет вид:
Q = \begin{cases} \frac{A}{P^2}, & P > 10, \\ \frac{100}{P}, & P \leq 10 \end{cases} и, где Q - кол-во дней поездки.
Рынок туристических поездок совершенно-конкурентный, поэтому цена на нем фиксирована и составляет 20 условных денежных единиц за день путешествия. Дни поездок не обязательно целые с учетом времени на трансфер и заселение.
А) По какой ставке нужно ввести потоварную субсидию потребителям, чтобы увеличить длительность поездки в равновесии на 10 дней, какие будут суммарные затраты на субсидирование семьи?
Теперь чиновники затрачивают средства из прошлого пункта на аккордную субсидию семье. Изменится ли их выбор и полезность? Объясните интуитивно и обоснуйте строго математически.
Б) Решите ту же задачу при условии, что цена равна 6 и поездку нужно продлить на 3 дня, а спрос при ценах ниже 10 изменился на 90/p. Ответьте, влияет ли аккордная субсидия на выбор потребителя теперь.
А) Запишем задачу семьи: U=F(q)+M, где F(q) – функция полезности семейства от дней путешествия, а M -сбережённые деньги. M+P*Q\leq I – наши расходы не превышают выделенную сумму, но т.к. полезность возрастает и по длительности путешествия, и по сбережённым деньгам, которые возрастают по доходу, поэтому мы тратим всё и бюджетное ограничение принимает вид M+P*Q=I, тогда U=F(q)+I-P*Q
MU=F'Q-P=0, отсюда выводится спрос. При низких ценах затраты на продукт принимают фиксированное значение, потому что оптимальное количество недостижимо, поэтому мы тратим весь доход. Поэтому спрос непрерывен, подставим из второго участка в точке излома p=q=10 и получим, что Q=100/p^2, а доход – 100. При цене 20 семья покупала поездку на 2,5 дня. Найдём, при какой цене кол-во дней будет 12,5. На первом участке спроса максимум 10 дней, значит равновесие на втором \frac{100}{p} = 12.5 \implies p = 8.
Теперь семья платит не 20, а 20-s=8, значит s=12.
Б) В прошлом пункте затраты на субсидирование были равны 150, значит теперь доход семьи вырос на 150 при условии покупки товара и стал 250. Найдём максимальную цену,
при которой тратится доход: \frac{1000}{p} = 250 \implies p = 4. При меньших ценах затраты будут больше 250 и мы будем расходовать весь доход, но при цене 20 мы по-прежнему будем покупать столько же туров, значит действительно ничего не изменится, а полезность вырастет. Одно из возможных объяснений – товар не становится сравнительно более привлекательным, так как фактическая цена не меняется, а затраты по аккордной субсидии обычно не отслеживаются, поэтому не составит труда сберечь деньги, а при потоварной субсидии, уже отраженной в цене, срабатывает эффект скидки, товар оказывается сравнительно более выгодным, то есть растёт отношение MU/P, что заставляет покупать больше.
В) Сначала семья покупала пятнадцатидневный тур, \frac{90}{p} = 18 \implies p = 5, s=1 – ставка субсидии, равная разнице в ценах. Общие затраты на субсидирование равны 18.
При введении аккордной субсидии общий доход станет 108. Найдём максимальную цену, при которой мы тратим весь доход: \frac{1000}{p} = 108 \implies p = 9\frac{7}{27}, значит при цене 6 семья по-прежнему тратит весь доход, приобретая теперь 18 единиц, как и при введении потоварной. Это работает, если при данной цене мы готовы тратить весь доход, а значит аккордная субсидия всё-таки может влиять на потребителя!
Ответ:
А) s=12
Б) выбор не изменится
В) s=1, Sub=18, нет разницы, какая субсидия вводится.