Пусть X_m – объем продукта X, купленный за деньги, X_p – объем продукта X, полученный в подарок. Общий объем продукта X : X=X_m+X_p. Придется рассмотреть три варианта: 1) X_m>Y ; 2) X_m<Y ; 3)\, X_m=Y.

1) X_m>Y. Разумеется, это предположение наиболее правдоподобно. Учитывая, что P_Y>P_X, а также то, что показатель степени при X в функции Кобба-Дугласа в два раза больше, чем при Y, можно предположить, что за деньги будет куплено больше единиц X, чем Y. Исходя из нашего предположения, все единицы Y будут куплены в паре с единицами X. Пусть Z – число пар, а (X_m-Y) – число единиц X, купленных вне пар. Тогда общее количество товара X будет определяться формулой: Х = Z + (X_m – Y ) + X_p = Z + (X_m – Y ) + Z. Последнее Z в этой формуле означает число единиц товара X, полученных в подарок за каждую пару X и Y, купленную за деньги. Общее количество товара Y, приобретенное индивидом: Y=Z.

Бюджетное ограничение: 300 \ 000 = 20(X_m - Y) + (20 + 100)Z = 20(X_m - Z) + (20 + 100)Z. \ X_m = 15 \ 000 - 5Z.

U = X^2Y = (X_m + Z)^2Z = (15 \ 000 - 5Z + Z)^2Z = (15 \ 000 - 4Z)^2Z = 16Z^3 - 120 \ 000Z^2 + 225 \ 000 \ 000Z.

U' = 48Z^2 - 240 \ 000Z + 225 \ 000 \ 000 = 0.

Z_ 2 – 5000Z + 4\ 687\ 500 = 0. Z_1=3750 (не подходит, так как индивид не сможет на свой бюджет купить 3750 пар X и Y ). Z_2=1250.

Докажем, что при Z=1250 достигается максимум функции U. U''=96Z-240\ 000. При Z=1250 U''=-120\ 000. Вторая производная отрицательна. Это значит, что мы получили максимум.

X_m=15\ 000-5Z=8750. Общий объем X, полученный индивидом: X=X_m+Z=8750+1250=10\ 000. Общий объем Y : Y=Z=1250.

U=X^2Y=12,5*10^{10}.

2) X_m<Y. Пусть Z – число пар, а (Y-X_m) – число единиц Y, купленных вне пар. Общее количество товара X, полученное индивидом: X=X_m+Z=2Z.

Бюджетное ограничение: 300\ 000 = 100(Y – X_m) + (20 + 100)Z = 100(Y – Z) + (20 + 100)Z = 100Y + 20Z.

Y = 3000 – 0,2Z. \quad U = X^2Y = (2Z)^2(3000 – 0,2Z) = 12\ 000Z^2 – 0,8Z^3. \quad U' = 24\ 000Z – 2,4Z^2 = 0.\quad Z_1=0, \quad Z_2=10\ 000. Оба ответа не удовлетворяют условиям задачи.

3) X_m=Y. Очевидно, в этом случае X_m=Y=Z. Общее количество товара X, полученное индивидом: X=X_m+Z=2Z. Бюджетное ограничение: 300\ 000 = 20Х_m + 100Y = 120Z.\quad Z = Х_m = Y = 2500.

U = X^2Y = (2*2500)^2*2500 = 6,25*10^{10}. Это меньше, чем в первом случае. Поэтому принимаем следующие значения: X=10\ 000,\quad Y=1250.

Ответ. X=10\ 000, Y=1250.