S045
Функция полезности индивида: , где – объем товара , – объем товара . Бюджет потребителя денежных единиц. Цены товаров: , . Разумеется, потребитель может свободно распределять деньги на приобретение продуктов и . Но за каждую купленную за деньги пару продуктов и потребитель получает в подарок одну единицу продукта .
Сколько всего единиц продуктов и поступит в распоряжение потребителя, если он будет максимизировать общую полезность получаемого набора благ?
Ответ
Пусть – объем продукта , купленный за деньги, – объем продукта , полученный в подарок. Общий объем продукта : . Придется рассмотреть три варианта: ; ; .
. Разумеется, это предположение наиболее правдоподобно. Учитывая, что , а также то, что показатель степени при в функции Кобба-Дугласа в два раза больше, чем при , можно предположить, что за деньги будет куплено больше единиц , чем . Исходя из нашего предположения, все единицы будут куплены в паре с единицами . Пусть – число пар, а – число единиц , купленных вне пар. Тогда общее количество товара будет определяться формулой: . Последнее в этой формуле означает число единиц товара , полученных в подарок за каждую пару и , купленную за деньги. Общее количество товара , приобретенное индивидом: .
Бюджетное ограничение:
. (не подходит, так как индивид не сможет на свой бюджет купить пар и ). .
Докажем, что при достигается максимум функции . . При . Вторая производная отрицательна. Это значит, что мы получили максимум.
. Общий объем , полученный индивидом: . Общий объем : .
.
. Пусть – число пар, а – число единиц , купленных вне пар. Общее количество товара , полученное индивидом: .
Бюджетное ограничение:
. Оба ответа не удовлетворяют условиям задачи.
. Очевидно, в этом случае . Общее количество товара , полученное индивидом: . Бюджетное ограничение: . .
. Это меньше, чем в первом случае. Поэтому принимаем следующие значения: , .
Ответ. , .