Задача 1 ОЧ-2016 (10 класс)
На рынке совершенной конкуренции в стране Ботанляндия спрос студентов на учебники имеет вид Q^D=40-0,2p, где Q – величина спроса в штуках, а p – цена учебника в рублях.
Король страны решил нажиться на бедных школьниках и студентах и ввести налог в виде процента от цены покупателя (акциз).
До введения налога эластичность спроса в точке равновесия равнялась (-9/11), эластичность предложения (функция которого является линейной) до введения налога по абсолютной величине превышала эластичность спроса в 50t раз, где t – величина введенного позднее акциза (0<t<1)
После введения акциза (t) эластичность предложения стала равна 88/9, а равновесный объем упал на 4 единицы.
- Сколько денег собрал король с помощью налога?
- Может ли король изменить каким-либо образом налоговую ставку так, чтобы увеличить сборы?
Эластичностью спроса по цене называется следующая величина: E^P_D = \frac{\Delta Q_D}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q_D}, аналогично эластичность предложения равна E^P_S = \frac{\Delta Q_S}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q_S}.
1. Эластичность спроса вычисляется по формуле (допускается также поиск через т.н. геометрический смысл эластичности):
E = -0,2 \cdot \frac{p}{40 - 0,2p} = -\frac{9}{11}
Откуда: p=90, Q=22
Тогда: Q'=18, p'=110
Функция предложения линейна. Обозначим её как Q^S=a+b*p
В исходной точке эластичность: E = b \cdot \frac{p}{a + bp} = b \cdot \frac{90}{22} = \frac{9}{11} \cdot 50t
В полученной точке: E = b \cdot \frac{p}{a + bp} = b \cdot \frac{110(1 - t)}{18} = \frac{88}{9} (подставляем цену для продавцов)
Откуда: b=2, t=0,2.
Тогда налогов король собрал следующую сумму: T=t*P*Q=0,2*110*18=396
2. Может. В качестве обоснования можно привести любой подходящий пример с обоснованием.
Функция предложения (находится из вышеуказанных уравнений):
Q^S=2P-158
Функция спроса:
Q^D=40-0,2p
Пусть он, например, введёт потоварный налог в размере 60,5 единиц ((или акцизный в размере 60,5/145 ) – соответствует наибольшему налоговому сбору.
Тогда Q^*=11.
Налоговые сборы равны 665,5.
В качестве ответа годится любой иной обоснованный пример, показывающий, что ставка не является оптимальной.