Первобытная торговля
Как-то в ндцатом веке до н. э. встретились два неандертальца Дгобан и Ишма и решили совершить обмен. У Дгобана есть много ракушек, а у Ишмы убитый мамонт. Кол-во ракушек , за которое Ишма готов отдать мамонта, он определяет равновероятностно на промежутке , при чём число только целое. Дгобан умный, Дгобан оценивает мамонта в ракушек и говорит свою цену , при этом он не знает. Если , то сделка состоится, иначе – нет. Если сделка не состоится, то не очень умный Ишма попытается побить Дгобана и будет пытаться в течение секунд. В каждый момент времени предельные издержки Дгобана на единицу времени от этого будут описываться так: , при , , при , , , где -время в секундах прошедшее с начала попыток его побить.
А) Помогите Дгобану максимизировать ожидаемую выгоду, измеренную в ракушках.
Б) Сколько Дгобан готов был заплатить племени Атикиных, способных защитить его от Ишмы?
Ответ
А) Дгобану необходимо максимизировать величину ожидаемой выгоды. То есть нам надо записать функцию матожидания его выгоды в зависимости от того, какое Дгобан решит выбрать. С вероятностью Дгобан получит выгоду в ракушек. Отметим, что выгодно ставить только целое. При нецелом мы можем снизить его до целого, а сделка будет заключена с той же вероятностью. (Пример, , мы заключим сделку, если , и только в этом случае. Если мы понизим до , то сделка все равно может быть заключена только при , но зато теперь, если мы заключим сделку, то сэкономим . Также при росте растут наши потенциальные издержки, так как предельные издержки положительные, значит, при дробных значениях , нам опять же выгодно снизить его до целого числа, сохранив те же вероятности заключения сделки и получения издержек, но снизив последние). С обратной вероятностью, то есть , мы получим только издержки. В зависимости от выбранного нами , они будут разными. Запишем три варианта функции, которую будем максимизировать, когда лежит в разных ограничениях. Заметим, что, по приведённым выше соображениям, всегда будет целым, следовательно, мы можем максимизировать эти функции как обычные, а затем выбрать ближайшие целые значения. (Отметим, что это работает, так как следующие функции это две параболы и прямая).
. Это прямая. Максимум на ограничении при . .
. Парабола ветвями вверх, максимум на ограничении. .
. И вновь это парабола ветвями вверх, максимум на ограничении. .
Отсюда получаем максимум полезности в ракушках при . То есть Дгобан точно купит мамонта у Ишмы и точно не понесет издержки от драки.
Б) Запишем функцию без издержек.
. Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине при . .То есть ничего не поменялось.
Ответ: .