Новогоднее предложение от монополиста
Спрос на продукцию монополиста линеен (снижение цены на 1 руб. неизменно вызывает рост величины спроса на 1 ед.), а средние издержки ее производства постоянны. Максимальная прибыль фирмы составила 4036081 руб. Сколько единиц продукции выпустила фирма?
Аналитическое:
Пусть P_d = a - bQ, AC = c. Тогда TC = cQ. По условию, b=1.
MR = a - 2Q = MC = c \Rightarrow Q^* = \frac{a - c}{2}
\pi_{\text{max}} = \left( a - \frac{a - c}{2} \right) \cdot \frac{a - c}{2} - c \cdot \frac{a - c}{2} = \left(\frac{a - c}{2}\right)^2 = \left( Q^* \right)^2
Q^* = \sqrt{\pi_{\text{max}}} = 2009
Геометрическое:
Наклон кривой спроса равен 1. Поэтому
\begin{cases} OF = OE \\ OB = BE \\ \frac{OF}{OB} = 2. \end{cases}
В силу подобия \triangle FOB и \triangle FCA,
\frac{FC}{CA} = \frac{FO}{OB} = 2.
Получаем:
\pi_{\text{max}} = S_{\triangle FCA} = 0,5 \cdot CA \cdot FC = 0,5 \cdot CA \cdot 2CA = CA^2.
Таким образом, в данном случае максимальная прибыль фирмы численно равна квадрату оптимального выпуска:
Q^* = \sqrt{\pi_{\text{max}}} = \sqrt{4036081} = 2009
Ответ:
2009.