Двоевластие. Олимпиада Колокольникова 1 тур 2025 (8 класс)
В замечательном городе Тюмени только одна фирма занималась добычей нефти. Спрос на нефть в городе описывался функцией , где — цена на нефть, а — объем ее потребления. Общие издержки производства единиц продукции составляют .
а) ( балла) Какой объем выберет фирма, максимизируя свою прибыль?
Ответ
Спрос описывается функцией , значит, обратная функция спроса имеет вид . Запишем функцию прибыли монополиста:
.
Функция прибыли - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине . Это и будет оптимальный выпуск монополиста.
Ответ: .
б) ( балла) Государь «Заречный» решил собирать потоварный налог с фирмы, причем такой, чтобы его налоговые сборы были максимальны. Однако из-за размера города и сложности процесса он тратит много ресурсов на сбор налога, поэтому общие издержки от сбора налога по ставке , которые несет государство, составляют . Какой налог выберет государь? Какой выпуск выберет фирма?
Ответ
Если государь вводит налог в размере , то издержки монополиста принимают вид . Запишем новую прибыль монополиста:
.
Функция прибыли - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине .
Запишем налоговые сборы "Заречного":
.
Функция налоговых сборов - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине . Это и будет оптимальный налог государя, тогда выпуск фирмы будет .
Ответ: , .
в) ( баллов) Внезапно объявился еще один человек - «Восточный», который утверждает, что он тоже государь Тюмени, и «Заречный» согласен править вместе с ним. Вся проблема в том, что «Восточный» тоже хочет собирать налоги с монополиста, и его издержки на сбор налога задаются функцией . Каждый из государей стремится максимизировать собственные налоговые сборы. Какой выпуск произведет фирма, и какие ставки налогов выберут «Восточный» и «Заречный», если они делают выбор одновременно и независимо?
Ответ
Пусть государь "Заречный" назначает налог , а государь "Восточный" назначает налог , тогда издержки монополиста теперь имеют вид . Запишем прибыль монополиста с учетом того, что монополист считает и заданными:
.
Функция прибыли - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине .
Запишем налоговые сборы "Заречного"
.
Функция налоговых сборов - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине .
Теперь запишем налоговые сборы "Восточного"
.
Функция налоговых сборов - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине .
Поймем, что в оптимуме оба равенства должны выполняться. То есть мы получаем систему уравнений, которую необходимо решить. Получим и . Тогда монополист выберет выпуск .
Ответ: , и .
г) ( балла) Приведите два примера, из чего могут складываться издержки на сбор налогов. Если будет приведено больше, чем два примера, то оценены будут первые два.
Ответ
Несколько основных причин:
Уклонение от уплаты налогов. Затраты на борьбу с уклонением от уплаты налогов требуют дополнительных ресурсов и времени, что также становится значительной статьей расходов, так как необходимо проводить различные расследования и применять наказания.
Содержание сотрудников и оборудования. Издержки включают в себя административные расходы, включающие в себя зарплаты сотрудников налоговых органов, затраты на обучение, а также на содержание офисов и оборудование.
Технологические затраты. Для удобства налогообложения государство внедряет информационные технологии, что также требует затрат, например поддержание работоспособности серверов и создание новых онлайн-ресурсов.