Двоевластие. Олимпиада Колокольникова 1 тур 2025 (8 класс)
В замечательном городе Тюмени только одна фирма занималась добычей нефти. Спрос на нефть в городе описывался функцией Q(P)=100-P, где P — цена на нефть, а Q — объем ее потребления. Общие издержки производства Q единиц продукции составляют TC(Q)=Q^2.
а) ( 2 балла) Какой объем выберет фирма, максимизируя свою прибыль?
Спрос описывается функцией Q(P)=100-P, значит, обратная функция спроса имеет вид P(Q)=100-Q. Запишем функцию прибыли монополиста:
\pi =TR-TC=(100-Q)Q-Q^2=100Q-2Q^2=>max.
Функция прибыли - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине Q^*=\frac{-100}{-2*2}=25. Это и будет оптимальный выпуск монополиста.
Ответ: Q^*=25.
б) ( 3 балла) Государь «Заречный» решил собирать потоварный налог с фирмы, причем такой, чтобы его налоговые сборы были максимальны. Однако из-за размера города и сложности процесса он тратит много ресурсов на сбор налога, поэтому общие издержки от сбора налога по ставке t_з, которые несет государство, составляют C_з(t_з)=11t_з. Какой налог выберет государь? Какой выпуск выберет фирма?
Если государь вводит налог в размере t, то издержки монополиста принимают вид TC=Q^2+tQ. Запишем новую прибыль монополиста:
\pi=TR-TC=(100-Q)Q-tQ-Q^2=(100-t)Q-2Q^2=>max.
Функция прибыли - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине Q^*=\frac{-100+t}{-2*2}=25-\frac {t}{4}.
Запишем налоговые сборы "Заречного":
T_x = tQ - TC = t\left(25 - \frac{t}{4}\right) - 11t = 14t - \frac{t^2}{4} \to \max.
Функция налоговых сборов - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине t^*=28. Это и будет оптимальный налог государя, тогда выпуск фирмы будет Q=25-\frac{t}{4}=25-7=18.
Ответ: t^*=28, Q^*=18.
в) ( 5 баллов) Внезапно объявился еще один человек - «Восточный», который утверждает, что он тоже государь Тюмени, и «Заречный» согласен править вместе с ним. Вся проблема в том, что «Восточный» тоже хочет собирать налоги с монополиста, и его издержки на сбор налога задаются функцией C_в(t_в)=4t_в+\frac{t_в^2}{4}. Каждый из государей стремится максимизировать собственные налоговые сборы. Какой выпуск произведет фирма, и какие ставки налогов выберут «Восточный» и «Заречный», если они делают выбор одновременно и независимо?
Пусть государь "Заречный" назначает налог t_з, а государь "Восточный" назначает налог t_в, тогда издержки монополиста теперь имеют вид TC=t_зQ+t_вQ+Q^2. Запишем прибыль монополиста с учетом того, что монополист считает t_з и t_в заданными:
\pi=TR-TC=(100-Q)Q-t_зQ-t_вQ-Q^2 =(100-t_зQ-t_вQ)Q-2Q^2 \to max .
Функция прибыли - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине Q^* = \frac{-100 + t_з + t_в}{-2 \times 2} = 25 - \frac{t_з + t_в}{4}.
Запишем налоговые сборы "Заречного"
T_x = t_з Q - TC = t_з \left(25 - \frac{t_з + t_в}{4}\right) - 11t_з =\left(14 - \frac{t_в}{4}\right)t_з - \frac{t^2_з}{4} \rightarrow \max.
Функция налоговых сборов - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине t_з^*=28-\frac{t_в}{2}.
Теперь запишем налоговые сборы "Восточного"
T_{x} = t_{\mathrm{в}} Q - TC = t_{\mathrm{в}} \left(25 - \frac{t_{\mathrm{з}} + t_{\mathrm{в}}}{4}\right) - 4t_{\mathrm{в}} - \frac{t_{\mathrm{в}}^{2}}{4} = \left(21 - \frac{t_{з}}{4}\right) t_{\mathrm{в}} - \frac{t_{з}^{2}}{2} \rightarrow \max.
Функция налоговых сборов - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине t_в^*=21-\frac{t_з}{4}.
Поймем, что в оптимуме оба равенства должны выполняться. То есть мы получаем систему уравнений, которую необходимо решить. Получим t_в=16 и t_з=20. Тогда монополист выберет выпуск Q=16.
Ответ: t_в=16, t_з=20 и Q=16.
г) ( 2 балла) Приведите два примера, из чего могут складываться издержки на сбор налогов. Если будет приведено больше, чем два примера, то оценены будут первые два.
Несколько основных причин:
Уклонение от уплаты налогов. Затраты на борьбу с уклонением от уплаты налогов требуют дополнительных ресурсов и времени, что также становится значительной статьей расходов, так как необходимо проводить различные расследования и применять наказания.
Содержание сотрудников и оборудования. Издержки включают в себя административные расходы, включающие в себя зарплаты сотрудников налоговых органов, затраты на обучение, а также на содержание офисов и оборудование.
Технологические затраты. Для удобства налогообложения государство внедряет информационные технологии, что также требует затрат, например поддержание работоспособности серверов и создание новых онлайн-ресурсов.