Пусть государь "Заречный" назначает налог t_з, а государь "Восточный" назначает налог t_в, тогда издержки монополиста теперь имеют вид TC=t_зQ+t_вQ+Q^2. Запишем прибыль монополиста с учетом того, что монополист считает t_з и t_в заданными:

\pi=TR-TC=(100-Q)Q-t_зQ-t_вQ-Q^2 =(100-t_зQ-t_вQ)Q-2Q^2 \to max .

Функция прибыли - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине Q^* = \frac{-100 + t_з + t_в}{-2 \times 2} = 25 - \frac{t_з + t_в}{4}.

Запишем налоговые сборы "Заречного"

T_x = t_з Q - TC = t_з \left(25 - \frac{t_з + t_в}{4}\right) - 11t_з =\left(14 - \frac{t_в}{4}\right)t_з - \frac{t^2_з}{4} \rightarrow \max.

Функция налоговых сборов - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине t_з^*=28-\frac{t_в}{2}.

Теперь запишем налоговые сборы "Восточного"

T_{x} = t_{\mathrm{в}} Q - TC = t_{\mathrm{в}} \left(25 - \frac{t_{\mathrm{з}} + t_{\mathrm{в}}}{4}\right) - 4t_{\mathrm{в}} - \frac{t_{\mathrm{в}}^{2}}{4} = \left(21 - \frac{t_{з}}{4}\right) t_{\mathrm{в}} - \frac{t_{з}^{2}}{2} \rightarrow \max.

Функция налоговых сборов - парабола, ветви которой направлены вниз, значит, ее максимум достигается в вершине t_в^*=21-\frac{t_з}{4}.

Поймем, что в оптимуме оба равенства должны выполняться. То есть мы получаем систему уравнений, которую необходимо решить. Получим t_в=16 и t_з=20. Тогда монополист выберет выпуск Q=16.

Ответ: t_в=16, t_з=20 и Q=16.