Права оказалась старуха Шапокляк.

В нашей задаче Q_2-Q_1=1, но фраза старухи верна для любого изменения выпуска, даже отрицательного. Мы выберем промежуточную степень общности, и докажем для случая Q_2-Q_1>0. (Для случая Q_2-Q_1<0 можете доказать сами.)

I способ

Сначала докажем два вспомогательных утверждения:

Утверждение 1:

\frac{\Delta TC}{\Delta Q} > AVC_1 \iff AVC_2 > AVC_1

Доказательство:

\frac{\Delta TC}{\Delta Q} > AVC_1 \iff \\ \iff \frac{VC_2 - VC_1}{Q_2 - Q_1} > \frac{VC_1}{Q_1} \iff \\ \iff VC_2 Q_1 - VC_1 Q_1 > VC_1 Q_2 - VC_1 Q_1 \iff \\ \iff \frac{VC_2}{Q_2} > \frac{VC_1}{Q_1} \iff \\ \iff AVC_2 > AVC_1

Утверждение 2:

\frac{\Delta TC}{\Delta Q} > AVC_2 \iff AVC_2 > AVC_1

Доказательство:

\frac{\Delta TC}{\Delta Q} > AVC_2 \iff \\ \iff \frac{VC_2 - VC_1}{Q_2 - Q_1} > \frac{VC_2}{Q_2} \iff \\ \iff VC_2 Q_2 - VC_1 Q_2 > VC_2 Q_2 - VC_2 Q_1 \iff \\ \iff \frac{VC_2}{Q_2} > \frac{VC_1}{Q_1} \iff \\ \iff AVC_2 > AVC_1

Здесь \iff – знак эквивалентности: A \iff B означает, что эти два утверждения верны или не верны одновременно.

Тогда из утверждений 1 и 2 получаем \frac{\Delta TC}{\Delta Q} > AVC_1 \iff \frac{\Delta TC}{\Delta Q} > AVC_2, т.е. эти два неравенства эквивалентны. В том числе, при \Delta Q = 1.

II способ

AVC_2 = \frac{VC_2}{Q_2} = \frac{VC_1 + \Delta TC}{Q_2} = \frac{\frac{VC_1}{Q_1} Q_1 + \frac{\Delta TC}{\Delta Q} \Delta Q}{Q_2} = \\ = AVC_1 \frac{Q_1}{Q_2} + \frac{\Delta TC}{\Delta Q} \cdot \frac{Q_2 - Q_1}{Q_2}

Обозначим \frac{\Delta TC}{\Delta Q} = MC. Напомню, что мы рассматриваем случай Q_2>Q_1. Тогда AVC_2 есть среднее арифметическое взвешенное между AVC_1 и MC , т.е. AVC_2 = \alpha AVC_1 + (1 - \alpha) MC, где 0 \leq \alpha \leq 1 ; в данном случае \alpha = \frac{Q_1}{Q_2}. Значит, AVC_2 находится между AVC_1 и MC, а MC, соответственно, по одну сторону от AVC_1 и AVC_2, что и доказывает правоту старухи Шапокляк.

Ответ:

Старуха Шапокляк.