Голубой вагон и MC в дискретном случае
Как–то раз крокодил Гена читал Чебурашке учебник по экономике.
– «Выпуск голубых вагонов вырос на единицу. При этом прирост издержек оказался больше, чем средние переменные издержки. Это значит, что средние переменные издержки выросли». Только здесь почему-то не написано, какие конкретно средние переменные издержки были превышены: при начальном выпуске или при конечном.
Наверное, имеется в виду второй выпуск, т.к. он был произведен позднее.
– Нет, Гена. Речь идет о первом выпуске, т.к. только сравнивая указанный прирост затрат с первоначальными средними переменными издержками, мы можем утверждать что-то о знаке изменения последних.
А вот что сказала проходившая мимо старуха Шапокляк:
– По мне, так никакой разницы нет: если этот прирост затрат превысил средние переменные издержки при одном выпуске, то он превысит их и при втором.
– Ну и глупая же ты, старуха! Такого уж точно быть не может, – хором ответили друзья.
Кто из героев прав? Докажите его правоту.
Ответ
Права оказалась старуха Шапокляк.
В нашей задаче , но фраза старухи верна для любого изменения выпуска, даже отрицательного. Мы выберем промежуточную степень общности, и докажем для случая . (Для случая можете доказать сами.)
I способ
Сначала докажем два вспомогательных утверждения:
Утверждение 1:
Доказательство:
Утверждение 2:
Доказательство:
Здесь – знак эквивалентности: означает, что эти два утверждения верны или не верны одновременно.
Тогда из утверждений 1 и 2 получаем , т.е. эти два неравенства эквивалентны. В том числе, при .
II способ
Обозначим . Напомню, что мы рассматриваем случай . Тогда есть среднее арифметическое взвешенное между и , т.е. , где ; в данном случае . Значит, находится между и , а , соответственно, по одну сторону от и , что и доказывает правоту старухи Шапокляк.
Ответ:
Старуха Шапокляк.