S021
Половину населения одной страны составляют холерики, другую половину – флегматики. Кривые Лаффера для той и другой группы населения представляют собой квадратичные параболы. Максимальная сумма налоговых поступлений от флегматиков равна 100 денежным единицам и достигается она при ставке подоходного налога, равной 20\%. Максимум налоговых поступлений от холериков равен 180, и достигается он при ставке налога, равной 30\%. При любой ставке налога и холерики, и флегматики честно платят налог со всей суммы своего дохода.
Какую единую ставку подоходного налога должно установить правительство для обеих групп населения, чтобы коэффициент Джини, рассчитанный на основе располагаемых доходов (т.е. оставшихся после уплаты налога) был равен 1/14 ?
Уравнение кривой Лаффера для флегматиков имеет следующий вид: T_1=at^2+bt+c, где T_1 – общая сумма налоговых поступлений, t – ставка налога (десятичная дробь). Как известно, кривая Лаффера выходит из начала координат, т.е. при t=0, T_1=0. Отсюда следует, что c=0. Поскольку квадратичная парабола симметрична, при t=0,4, T_1=0. 0=a*0,4^2+b*0,4. b=-0,4a.
Наконец, из условия известно, что при t=0,2. T_1=100.
100=a*0,2^2+(-0,4a)*0,2. Отсюда a=-2500, b=1000. T_1=-2500t^2+1000t.
T_1 – это сумма, составляющая долю t всего дохода флегматиков, который мы обозначим как I_1. Т.е. I_1*t=T_1. I_1 = T_1 / t = –2500 t + 1000. Располагаемый доход флегматиков i_1 = I_1* (1 – t) = –2500 t *(1 – t) + 1000*(1 – t) = 2500 t^2 – 3500 t + 1000.
Рассуждая аналогичным образом, можно получить выражение для общего дохода холериков (I_2=-2000t+1200) и для их располагаемого дохода (i_2=2000t^2-3200t+1200).
Далее выясним взаимное расположение графиков функций i_1 и i_2. Для начала определим значения t, при которых i_1=i_2.
2500 t^2 – 3500 t + 1000 = 2000 t^2 – 3200 t + 1200. 5t^2-3t-2=0. t_1=1, t_2=-0,4.
Это означает, что на том интервале налоговой ставки, где обе группы населения работают и получают доход (0\leq t<0,4) графики i_1 и i_2 не пересекаются.
При t=0, i_1=1000, i_2=1200. Отсюда следует, что на всем интервале (0\leq t<0,4) располагаемый доход холериков выше, чем располагаемый доход флегматиков.
Кривые Лаффера и графики функций T_1, T_2, I_1, I_2, i_1, i_2 показаны на рисунке, приведенном ниже.
Пусть доля флегматиков в общем располагаемом доходе равна y. Тогда кривая Лоренца для рассматриваемой страны имеет следующий вид:
Коэффициент Джини G = \frac{\frac{0,5 - \frac{0,5y}{2} - \frac{y+1}{2} \times 0,5}{0,5}}{0,5} = 0,5 - y.
По условию 0,5-y=1/14. y=3/7. \frac{y}{1 - y} = \frac{i_1}{i_2} = 0,75. 2500 t^2 – 3500 t + 1000 = 0,75*(2000 t^2 – 3200 t + 1200).
10 t^2 – 11 t + 1 = 0. t_1=1. (этот корень не подходит по смыслу задачи, так как при ставке налога 100\% располагаемые доходы обеих групп населения равны нулю), t_2=0,1.
Ответ: 10\%.