КПВ барона Мюнхгаузена
Барон Мюнхгаузен торгует полетами на ядре. У него есть пушка, запускающая ядро со скоростью \mathcal{V} и позволяющая выбрать любой угол 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ.
Плату барон принимает следующим образом: в любой выбранной им точке полета он подсчитывает координаты x и y и берёт плату равную P_xx+P_yy. Известно, что ускорение свободного падения составляет g.
1. Найдите предложение x со стороны Мюнхгаузена в зависимости от p=P_x/P_y.
2. Пусть на рынке сложились цены P_x=6, P_y=8. Сколько максимально барон готов заплатить за увеличение скорости своей пушки с \mathcal{V}=10 до \mathcal{V_1}=30, если известно, что g=10 ?
1 ) Вспомним уравнения движения: \begin{cases} x = \mathcal{V} \cos \alpha t \\ y = \mathcal{V} \sin \alpha t - \frac{gt^2}{2} \end{cases}
Выразив t = \frac{x}{\mathcal{V} \cos \alpha} и подставив в выражение для y получим
y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 V_0^2 \cos^2 \alpha}
y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 \mathcal{V}^2} \left(1 + \tan^2 \alpha \right)
КПВ барона - кривая, для которой при каждом x максимально значение y. Заметим, что если x фиксирован, то y=(x, \tan\alpha) это парабола ветвями вниз относительно \tan\alpha, и она достигает своего максимального значения при \tan \alpha = \frac{\mathcal{V}^2}{g x}
Подставив уже эту формулу в выражение для y получим, после преобразований:y = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} - \frac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}
Заметим, что функция обращается в 0 при x^* = \frac{\mathcal{V}^2}{g}, а производная в этой точке равна f'(x^*) = -\frac{gx^*}{\mathcal{V}^2} = -1.
Теперь нетрудно получить предложение, используя формулу
f'(x^*) = -\frac{P_x}{P_y} = -p.
x = \frac{p\mathcal{V}^2}{g}
x^s = \begin{cases} \frac{p\mathcal{V}^2}{g}, & 0 \leq p \leq 1 \\ \frac{\mathcal{V}^2}{g}, & p > 1 \end{cases}
2 ) Подставив x = \frac{p\mathcal{V}^2}{g} в выражение для y, получим
y = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} - \frac{gx^2}{2\mathcal{V}^2} = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} - \frac{g\left(\frac{p\mathcal{V}^2}{g}\right)^2}{2\mathcal{V}^2} = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} \left(1 - p^2\right)
Тогда выручка барона составит
TR = xP_x + yP_y = \frac{P_x \mathcal{V}^2}{P_y g} P_x + \frac{\mathcal{V}^2}{2g} \left( P_y - \frac{P_x^2}{P_y} \right)
При P_x=6, P_y=8, \mathcal{V}=10 выручка составит 62,5
а при изменении скорости до \mathcal{V}=30 и неизменных ценах она составит 562,5 откуда максимальная готовность платить составит 562,5-62,5=500.
Ответ:
1 ) y = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} - \frac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}
2) 500.