КПВ барона Мюнхгаузена

1 ) Вспомним уравнения движения: \begin{cases} x = \mathcal{V} \cos \alpha t \\ y = \mathcal{V} \sin \alpha t - \frac{gt^2}{2} \end{cases}

Выразив t = \frac{x}{\mathcal{V} \cos \alpha}  и подставив в выражение для y  получим

y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 V_0^2 \cos^2 \alpha}

y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 \mathcal{V}^2} \left(1 + \tan^2 \alpha \right)

КПВ барона - кривая, для которой при каждом x  максимально значение y. Заметим, что если x  фиксирован, то y=(x, \tan\alpha)  это парабола ветвями вниз относительно \tan\alpha, и она достигает своего максимального значения при \tan \alpha = \frac{\mathcal{V}^2}{g x}

Подставив уже эту формулу в выражение для y  получим, после преобразований:y = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} - \frac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}

Заметим, что функция обращается в 0 при x^* = \frac{\mathcal{V}^2}{g}, а производная в этой точке равна f'(x^*) = -\frac{gx^*}{\mathcal{V}^2} = -1.

Теперь нетрудно получить предложение, используя формулу

f'(x^*) = -\frac{P_x}{P_y} = -p.

x = \frac{p\mathcal{V}^2}{g}

x^s = \begin{cases} \frac{p\mathcal{V}^2}{g}, & 0 \leq p \leq 1 \\ \frac{\mathcal{V}^2}{g}, & p > 1 \end{cases}

2 ) Подставив x = \frac{p\mathcal{V}^2}{g}  в выражение для y, получим

y = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} - \frac{gx^2}{2\mathcal{V}^2} = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} - \frac{g\left(\frac{p\mathcal{V}^2}{g}\right)^2}{2\mathcal{V}^2} = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} \left(1 - p^2\right)

Тогда выручка барона составит

TR = xP_x + yP_y = \frac{P_x \mathcal{V}^2}{P_y g} P_x + \frac{\mathcal{V}^2}{2g} \left( P_y - \frac{P_x^2}{P_y} \right)

При P_x=6, P_y=8, \mathcal{V}=10  выручка составит 62,5

а при изменении скорости до  \mathcal{V}=30  и неизменных ценах она составит 562,5 откуда максимальная готовность платить составит 562,5-62,5=500.

Ответ:

1 ) y = \frac{\mathcal{V}^2}{2g} - \frac{gx^2}{2\mathcal{V}^2}

2) 500.