Утилизация
В стране , разделенной на регионы и , введены суровые таможенные правила относительно ввоза на ее территорию продуктов питания. Если кто-то пытается ввезти продукты незаконно, то весь контрафакт изымается и уничтожается по одной из двух технологий. Будем считать, что вся еда, импортируемая в эту страну, делится на два типа — сыр пармезан и персики.
В регионе незаконно ввезенную еду раскатывают бульдозерами. Бульдозеры имеются в неограниченном количестве, а трудовых ресурсов есть только единиц. Если нанять единицу труда, то можно раздавить тонну незаконного пармезана или тонну незаконных персиков. Однако с ростом количества нанятого труда приобретаются знания и накапливается опыт (ранее уничтожением еды никто не занимался), и все единицы труда сверх -й, занятые в раздавливании пармезана, могут раскатать уже не , а целых тонны сыра. То же самое и с персиками: первые единиц труда будут раскатывать по тонне персиков, а все следующие — по тонны.
В регионе незаконно ввезенную еду сжигают на кострах. Так же, как и в регионе , костров хватит на любое количество продуктов, а труд в этом регионе ограничен единицами. Если нанять единицу труда, то можно сжечь тонны пармезана или тонны персиков. Повышения квалификации во регионе не происходит, поскольку роль труда в процессе сжигания невелика.
Продукты можно перевозить между регионами без затрат ресурсов, а ни миграции рабочей силы, ни перемещения технологий не происходит.
Назовем кривой утилизационных возможностей (КУВ) множество точек в координатах (сыр; персики), ограничивающих доступные наборы из уничтоженных продуктов. Постройте суммарную КУВ страны.
Ответ
Запишем производственные (или утилизационные) функции в регионе .
Одновременно и не может быть, так как в этом регионе . Поэтому рассматриваем три случая:
-
. Тогда и . Поскольку , получаем ограничение: , или . КУВ региона будет иметь такой вид при .
-
. Тогда и . Получаем ограничение: , или . КУВ региона будет иметь такой вид при .
-
, . Тогда и . Получаем ограничение , . КУВ региона будет иметь такой вид при и .
Получаем уравнение КУВ первого региона:
В регионе стандартный случай: , , при ограничении получаем .
Допустим, всего страна хотела бы утилизировать единиц сыра. Для построения общей КУВ нам надо определить, как распределить утилизацию единиц между регионами так, чтобы общее количество утилизированного было максимально.
Эту задачу можно решить аналитически <<в лоб>>, однако такой способ решения достаточно трудоемок. Следующее соображение позволяет значительно упростить решение.
Возьмем некое распределение , в котором и посчитаем объемы утилизации персиков, исходя из полученных выше КУВ регионов; получим четыре числа .
Рассчитаем также альтернативные издержки утилизации персиков в двух регионах в точках и . Назовем их и .
Если , начнем перекидывать утилизацию сыра из второго региона в первый, пока это возможно. Поскольку альтернативные издержки в первом регионе не возрастают (КУВ выпукла вниз), а во втором регионе они постоянны, общий объем утилизации персиков будет возрастать (возможно, не строго); это будет происходить, пока мы не упремся в границу или .
Аналогично, если , начнем перекидывать утилизацию сыра из первого региона во второй, пока это возможно. И вновь, в силу того, какую форму имеют КУВ регионов, общий объем утилизации персиков будет возрастать; это будет происходить, пока мы не упремся в границу или .
Таким образом, в оптимуме (Строго говоря, в хотя бы одном из оптимумов), так как оптимальное распределение сыра между регионами может быть не единственным. Поскольку нас интересует лишь максимальное значение , нам достаточно найти хотя бы один оптимум, хотя бы одно из четырех чисел равно нулю. Иными словами, мы доказали, что в оптимуме какой-то регион всегда утилизирует лишь один вид еды. (Для этого было существенно, что альтернативные издержки производства в обоих регионах нестрого убывают!)
Это значит, что для построения суммарной КУВ достаточно построить множество точек , которые получаются, если один из регионов находится в крайней точке своей КУВ. Для этого:
- возьмем КУВ первого региона и перенесем параллельно вверх на (второй регион утилизирует только персики);
- возьмем КУВ первого региона и перенесем параллельно вправо на (второй регион утилизирует только сыр);
- возьмем КУВ второго региона и перенесем параллельно вверх на (первый регион утилизирует только персики);
- возьмем КУВ второго региона и параллельно перенести вправо на (первый регион утилизирует только сыр);
- возьмем объединение всех получившихся множеств (включим также все точки с меньшими объемами утилизации).
Получившееся множество и есть множество доступных наборов. Ломаная, являющаяся его границей (не включая оси), как раз и будет являться искомой кривой утилизационных возможностей. Она изображена на рисунке внизу. Факультативно можно вывести уравнение этой кривой:
