Утилизация
В стране N , разделенной на регионы W и E , введены суровые таможенные правила относительно ввоза на ее территорию продуктов питания. Если кто-то пытается ввезти продукты незаконно, то весь контрафакт изымается и уничтожается по одной из двух технологий. Будем считать, что вся еда, импортируемая в эту страну, делится на два типа — сыр пармезан и персики.
В регионе W незаконно ввезенную еду раскатывают бульдозерами. Бульдозеры имеются в неограниченном количестве, а трудовых ресурсов есть только 35 единиц. Если нанять единицу труда, то можно раздавить тонну незаконного пармезана или тонну незаконных персиков. Однако с ростом количества нанятого труда приобретаются знания и накапливается опыт (ранее уничтожением еды никто не занимался), и все единицы труда сверх 10 -й, занятые в раздавливании пармезана, могут раскатать уже не 1, а целых 2 тонны сыра. То же самое и с персиками: первые 10 единиц труда будут раскатывать по 1 тонне персиков, а все следующие — по 2 тонны.
В регионе E незаконно ввезенную еду сжигают на кострах. Так же, как и в регионе W , костров хватит на любое количество продуктов, а труд в этом регионе ограничен 15 единицами. Если нанять единицу труда, то можно сжечь 2 тонны пармезана или 2 тонны персиков. Повышения квалификации во регионе E не происходит, поскольку роль труда в процессе сжигания невелика.
Продукты можно перевозить между регионами без затрат ресурсов, а ни миграции рабочей силы, ни перемещения технологий не происходит.
Назовем кривой утилизационных возможностей (КУВ) множество точек в координатах (сыр; персики), ограничивающих доступные наборы из уничтоженных продуктов. Постройте суммарную КУВ страны.
Запишем производственные (или утилизационные) функции в регионе W .
x = \begin{cases} L_x, & \text{если } 0 \leq L_x \leq 10, \\ 2L_x - 10, & \text{если } 10 < L_x \leq 35. \end{cases} \quad y = \begin{cases} L_y, & \text{если } 0 \leq L_y \leq 10, \\ 2L_y - 10, & \text{если } 10 < L_y \leq 35. \end{cases}
Одновременно L_x\leq10 и L_y\leq10 не может быть, так как в этом регионе L=35. Поэтому рассматриваем три случая:
1) L_x\leq10, L_y>10. Тогда x=L_x и y=2L_y-10. Поскольку L_x+L_y=35, получаем ограничение: x+0,5y+5=35, или y=60-2x. КУВ региона будет иметь такой вид при x\leq10.
2) L_y\leq10, L_x>10. Тогда x=2L_x-10 и y=L_y. Получаем ограничение: y+0,5x+5=35, или y=30-0,5x. КУВ региона будет иметь такой вид при y\leq 10.
3) L_x\geq10, L_y\geq10. Тогда x=2L_x-10 и y=2L_y-10. Получаем ограничение 0,5x+5+0,5y+5=35, y=50-x. КУВ региона будет иметь такой вид при x>10 и y>10.
Получаем уравнение КУВ первого региона:
y_1 = \begin{cases} 60 - 2x_1, & \text{если } 0 \leq x_1 \leq 10, \\ 50 - x_1, & \text{если } 10 < x_1 < 40, \\ 30 - 0{,}5x_1, & \text{если } 40 \leq x_1 \leq 60. \end{cases}
В регионе E стандартный случай: x_2=2L_x, y_2=2L_y, при ограничении L_x+L_y=15 получаем y_2=30-x_2.
Допустим, всего страна хотела бы утилизировать X единиц сыра. Для построения общей КУВ нам надо определить, как распределить утилизацию X единиц между регионами так, чтобы общее количество утилизированного Y было максимально.
Эту задачу можно решить аналитически <<в лоб>>, однако такой способ решения достаточно трудоемок. Следующее соображение позволяет значительно упростить решение.
Возьмем некое распределение X=x_1+x_2, в котором x_1>0, x_2>0 и посчитаем объемы утилизации персиков, исходя из полученных выше КУВ регионов; получим четыре числа (x_1, y_1, x_2, y_2).
Рассчитаем также альтернативные издержки утилизации персиков в двух регионах в точках x_1 и x_2. Назовем их OC_1 и OC_2.
Если OC_1\leq OC_2, начнем перекидывать утилизацию сыра из второго региона в первый, пока это возможно. Поскольку альтернативные издержки в первом регионе не возрастают (КУВ выпукла вниз), а во втором регионе они постоянны, общий объем утилизации персиков будет возрастать (возможно, не строго); это будет происходить, пока мы не упремся в границу x_2=0 или y_1=0.
Аналогично, если OC_1>OC_2, начнем перекидывать утилизацию сыра из первого региона во второй, пока это возможно. И вновь, в силу того, какую форму имеют КУВ регионов, общий объем утилизации персиков будет возрастать; это будет происходить, пока мы не упремся в границу x_1=0 или y_2=0.
Таким образом, в оптимуме (Строго говоря, в хотя бы одном из оптимумов), так как оптимальное распределение сыра между регионами может быть не единственным. Поскольку нас интересует лишь максимальное значение y_1+y_2, нам достаточно найти хотя бы один оптимум, хотя бы одно из четырех чисел (x_1, y_1, x_2, y_2) равно нулю. Иными словами, мы доказали, что в оптимуме какой-то регион всегда утилизирует лишь один вид еды. (Для этого было существенно, что альтернативные издержки производства в обоих регионах нестрого убывают!)
Это значит, что для построения суммарной КУВ достаточно построить множество точек (X, Y), которые получаются, если один из регионов находится в крайней точке своей КУВ. Для этого:
- возьмем КУВ первого региона и перенесем параллельно вверх на 30 (второй регион утилизирует только персики);
- возьмем КУВ первого региона и перенесем параллельно вправо на 30 (второй регион утилизирует только сыр);
- возьмем КУВ второго региона и перенесем параллельно вверх на 60 (первый регион утилизирует только персики);
- возьмем КУВ второго региона и параллельно перенести вправо на 60 (первый регион утилизирует только сыр);
- возьмем объединение всех получившихся множеств (включим также все точки с меньшими объемами утилизации).
Получившееся множество и есть множество доступных наборов. Ломаная, являющаяся его границей (не включая оси), как раз и будет являться искомой кривой утилизационных возможностей. Она изображена на рисунке внизу. Факультативно можно вывести уравнение этой кривой:
y = \begin{cases} 90 - x, & \text{если } 0 \leq x \leq 30, \\ 120 - 2x, & \text{если } 30 \leq x \leq 40, \\ 60 - 0{,}5x, & \text{если } 40 \leq x \leq 60, \\ 90 - x, & \text{если } 60 \leq x \leq 90. \end{cases}
