Сложение кривых Лоренца
В двух странах с одинаковым ВВП на душу населения коэффициенты Джини отличаются на единицу. Государство с менее равномерным распределением доходов – тоталитарное и милитаризованное – решило развязать войну со своим более демократичным соседом. Однако, несмотря на значительные расходы (на кампанию было потрачено около 75% ВВП), агрессор потерпел явную неудачу. В ходе кровопролитных боев погибло 60% населения нападающей страны. Для сравнения, демократическое государство потратило на оборону только 25% ВВП, пожертвовав жизнями 20% населения. В итоге страны решили заключить мирный договор и образовать союзное государство. Оказалось, что коэффициент Джини в объединенном государстве равен 0,5. Каков был бы коэффициент Джини, если бы страны решили объединиться до войны?
Ответ
Коэффициенты Джини отличаются на один из них равен 0 (в демократической стране), а другой – 1 (в тоталитарной).
Обозначим демократическую страну «D», а тоталитарную – «T», Y – ВВП, P – численность населения, момент до войны – «0», момент после войны – «1».
Тогда
Отсюда
Но в силу равенства ВВП на душу населения до войны
Значит,.
Обозначим Тогда .
Поймем, как будет выглядеть кривая Лоренца объединенного государства. Самые бедные в новом государстве – это жители бывшего тоталитарного государства, имеющие нулевые доходы. Их доля в населении нового государства равна , поэтому на отрезке кривая Лоренца нового государства будет совпадать с осью абсцисс. «Средний класс» в новом государстве будут составлять бывшие жители демократическо
го государства. Вместе с бедными они будут составлять почти все население нового государства, а суммарная доля доходов этих групп населения в общем ВВП равна . Кроме того, внутри среднего класса распределение доходов абсолютно равномерно, поэтому следующий участок общей кривой Лоренца будет отрезком прямой с концами в точках и . И, наконец, соединяя точку B с точкой C(1;1), получаем отрезок общей кривой Лоренца, «ответственный» за богатых, то есть за ту самую крайне малочисленную группу населения тоталитарной страны, располагавшую всем ее ВВП. В итоге общая кривая Лоренца имеет вид:
Тогда коэффициент Джини равен .
Учитывая то, что x=1,5y, имеем:
Значит, .
Получается, что до войны страны имели одинаковый ВВП и одинаковую численность населения!
Если бы страны объединились до войны, то общая кривая Лоренца имела бы качественно такой же вид, как и в случае объединения после войны. Следуя описанной выше логике построения этой кривой, нетрудно установить, что совокупная кривая Лоренца до войны проходила бы через точки (0; 0), (0; 0{,}5), (1; 0{,}5), (1; 1), и совокупный коэффициент Джини был бы равен 0,75.
Ответ:
0,75