Борьба с наркотиками
В некотором городе – условно назовём его E – спрос на наркотические вещества определяется как q_d=30-0,5p. Предложение наркотиков формируют ровно 100 продавцов, у каждого из которых издержки на изготовление q ед. наркотиков составляют 25q^2 д.е. Целью проводимой антинаркотической политики является не только снижение объёма потребляемых наркотиков, но ещё и сокращение оборота рынка – выручки продавцов (т.е. расходов потребителей на покупку наркотиков). Считается, что существенную часть средств на покупку наркотиков наркоманы добывают незаконно. Таким образом, существует сильный мультипликативный эффект: при росте числа употребляемых наркотиков растёт и остальная преступность – прежде всего кражи, разбои и грабежи. Состояние уличной преступности влияет на психологический климат в обществе и на отношение населения к органам власти в целом. Поэтому в качестве индикатора эффективности борьбы с наркотиками выступает не только сам торгуемый объём веществ, но и оборот рынка – сколько денег люди в сумме расходуют на покупку наркотиков.
(а) Какой объём веществ будет продан, какая установится цена и сколько составят расходы потребителей на приобретение наркотиков, если бы наркотики были легализованы?
(б) Полиция в городе E из года в год обнаруживает и изымает ровно половину от всех произведённых наркотических веществ. Производители заранее знают, что часть изготовленных наркотиков не дойдёт до покупателей – конфискация половины веществ не является для них случайным шоком. Они принимают решение об объёме производства наркотиков, заранее предполагая, что половину произведённой продукции не удастся сбыть и что к продаже для покупателей будет предложена только другая половина. Например, если производитель планирует предложить покупателям 1 ед. наркотиков, то произведёт 2 ед. наркотиков. Какой объём веществ будет продан, какая установится цена и сколько составят расходы потребителей на приобретение наркотиков?
(в) Пресс-секретарь региональной полиции сделал заявление: «Мы выявляем и изымаем половину наркотических веществ, иначе расходы горожан на покупку наркотиков были бы ещё больше». Объясните, почему полицейский пресс-секретарь неправ. Тем не менее, существует аргумент в защиту его позиции: в краткосрочной перспективе оборот рынка действительно вырастет, но в долгосрочной – снизится. Как вы думаете, в чём состоит этот аргумент?
(г) При каких значениях доли изымаемых наркотиков обнаружение и изъятие веществ действительно приведёт к снижению расходов на их покупку?
(д) В городе E функционирует основанный когда-то гражданином P «Фонд борьбы с наркотиками», который борется с наркоманией другим путём: он изолирует на некоторое время тех, кто употребляет наркотические вещества, проводит с ними мероприятия, и эти люди больше не предъявляют спрос на наркотики. Какой процент наркоманов удастся «охватить» Фонду, на столько же процентов снизится спрос на наркотики: например, если Фонд поработает с 20\% наркоманов, то городской спрос на наркотики составит q_d=0,8(30-0,5p). Какую долю наркоманов города E должен будет реабилитировать Фонд, чтобы скомпенсировать рост расходов на приобретение веществ, вызванный политикой, которая была рассмотрена в пункте (б)?
(е) Если бы в условиях пункта (б) полиция приняла решение бороться не с отдельными партиями веществ, а с продавцами, раз и навсегда убирая их с рынка наркотиков, то сколько продавцов необходимо было бы поймать, чтобы снизился не только объём проданных веществ, но и оборот рынка наркотиков? Считайте, что какое количество продавцов ни осталось бы на рынке в результате такой политики, рынок наркотиков не перестанет быть совершенно конкурентным.
(ж) Допустим, силовики решили сами скупить наркотики, чтобы их меньше досталось наркоманам. Сначала они определяются с тем, сколько наркотиков они хотели бы купить, а потом приобретают это количество вне зависимости от того, какая на рынке сложится цена. В таком случае рыночная величина спроса на наркотики при каждой цене вырастет именно на это количество: например, если полиция захочет купить 5 ед. наркотиков, то спрос на них в городе E составит
q_d = \begin{cases} 35 - 0,5p, & 0 \leq p \leq 60 \\ 5, & p > 60 \end{cases}
Сколько наркотиков должны будут выкупить полицейские, чтобы снизить не только объём употребляемых наркоманами веществ, но и расходы наркоманов? В какую сумму (как минимум) обойдётся бюджету такая политика? Сколько наркотиков должны будут выкупить полицейские, чтобы наркоманы не смогли купить ни одной единицы веществ? В какую сумму обойдётся бюджету такая политика?
(а) ( 3 балла) Прибыль каждого продавца:
\pi_i(q_i) = pq_i - 25q_i^2 \rightarrow \max(q_i \geq 0)
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке q_i=p/50 – это предложение каждого из продавцов ( 1 балл за индивидуальное предложение); всего их 100, поэтому рыночное предложение будет q_s=Nq_i=2p. В равновесии величина спроса равна величине предложения: 30-0,5p=2p, откуда p=12, q=24, pq=288 ( 2 балла за рыночное равновесие).
(б) ( 3 балла) Теперь каждый продавец будет осознавать, что из всех произведённых наркотиков сбыть удастся лишь половину, поэтому если он захочет предложить к продаже q_i единиц, он должен будет изготовить 2q_i единиц:
\pi_i(q_i) = pq_i - 25(2q_i)^2 = pq_i - 100q_i^2 \rightarrow \max(q_i \geq 0)
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке q_i=p/200 – это предложение каждого из продавцов ( 1 балл за индивидуальное предложение); всего их 100, поэтому рыночное предложение будет q_s=Nq_i=0,5p. В равновесии на рынке величина спроса равна величине предложения, т.е. 30-0,5p=0,5p, откуда p=30, q=15, pq=450 ( 2 балла за рыночное равновесие).
(в) ( 3 балла) Показано, что расходы наркоманов без вмешательства больше, чем с вмешательством, – 1 балл. При таком воздействии на предложение наркотиков количество проданных веществ действительно сокращается, но при этом растёт цена. Их произведение – величина расходов потребителей – может при этом измениться в любую сторону. В частности, если спрос неэластичен (а спрос на наркотики в равновесии, вероятнее всего, действительно неэластичен), то выручка, скорее всего, вырастет, а не снизится. Соответственно, наркоманы потратят больше денег на покупку веществ, и эти деньги они, по-видимому, добудут незаконным путём. В то же время, воздействие на спрос (а не на предложение наркотиков), рассмотренное, например, в пункте (д), гарантированно снижает и объёмы потребляемых наркотиков, и оборот рынка.
Довод в защиту такой политики заключается в том, что при более высоких ценах на наркотики меньше людей будут экспериментировать и начнут употреблять наркотики, учитывая, что в будущем им придётся заплатить больше. То бишь, в краткосрочном периоде те потребители, что уже имеют наркотическую зависимость, не смогут сократить свой спрос и увеличат оборот рынка наркотиков, но в долгосрочном периоде потенциальных потребителей станет меньше, и оборот рынка снизится. Долгосрочный спрос более эластичен, чем краткосрочный.
За корректные рассуждения о том, почему в краткосрочном и долгосрочном периоде спрос реагирует по-разному, – 2 балла.
(г) ( 3 балла) Если доля t от всех произведённых наркотиков будет конфискована, то у всех продавцов q_{\text{sold}} = (1 - t)q_{\text{produced}},то есть продавец, желающий продать q_i единиц, должен будет изготовить единиц q_i/(1-t) единиц: \pi_i(q_i) = pq_i - 25 \left( \frac{q_i}{1 - t} \right)^2 = pq_i - \frac{25}{(1 - t)^2} q_i^2 \rightarrow \max(q_i \geq 0)
Квадратная парабола с ветвями вниз, вершина в точке q_i=p(1-t)/250 –это предложение каждого из продавцов ; всего их 100, поэтому рыночное предложение будет q_s=Nq_i=2(1-t)^2/p.В равновесии величина спроса равна величине предложения: 30-0,5p=2(1-t)^2/p, цена составит ( 1 балл за индивидуальное предложение и рыночное равновесие) p=300,5+2(1-t)^2
Дальше необязательно находить расходы покупателей: в силу того, что функция выручки при линейном спросе – квадратная парабола, симметричная относительно середины спроса, выручка будет меньше, чем была в пункте (а), если отойти от середины линейного спроса дальше, чем в условиях равновесия пункта (а). Изначально цена была 12, а середина спроса – 30, поэтому чтобы снизить и количество употреблённых наркотиков, и оборот рынка, надо, чтобы новая цена была не менее 48 :
\frac{30}{0,5 + 2(1 - t)^2} \geq 48 \quad 30 \geq 24 + 96(1 - t)^2 \quad 96(1 - t)^2 \leq 6
(1 - t)^2 \leq \frac{116}{1 - t} \quad 1 - t \leq 14 \quad t \geq 34
Таким образом, нужно выявлять и изымать не менее 75\% от всех произведённых наркотиков ( 2 балла за решение неравенства).
(д) Если «неохваченными» остаётся доля z от всех наркоманов, то спрос составит q_d=z(30-0,5p). Предложение q_s=0,5p. В равновесии z(30-0,5p)=0,5p, тогда равновесные цена, количество и расходы потребителей составят ( 1 балл за рыночное равновесие)
p = \frac{60z}{z + 1} \quad q = \frac{30z}{z + 1} \quad pq = \frac{1800z^2}{(z + 1)^2}
Нужно, чтобы новые расходы стали не больше, чем 288 :
\frac{1800z^2}{(z + 1)^2} \leq 288 \\ \frac{900z^2}{(z + 1)^2} \leq 144 \\ \frac{30z}{z + 1} \leq 12 \\ 30z \leq 12z + 12 \\ 18z \leq 12 \\ z \leq \frac{2}{3}
Не излечившимися должны остаться не более чем 2/3 всех наркоманов, значит, Фонду придётся излечить как минимум 1/3 от всех наркоманов города E ( 2 балла за решение неравенства).
(е) ( 3 балла) q_i=50/p – это предложение каждого из продавцов; всего их N, поэтому рыночное предложение будет q_s=Nq_i=0,02Np. В равновесии 30-0,5p=0,02Np, цена составит ( 1 балл за рыночное равновесие)
p = \frac{30}{0{,}5 + 0{,}02N}
Как показано в пункте (г), надо, чтобы новая цена была не менее 48 :
\frac{30}{0{,}5 + 0{,}02N} \geq 48 \\ 30 \geq 24 + 0{,}96N \\ 0{,}96N \leq 6 \\ N \leq 6{,}25
Поскольку число продавцов может быть только целым, на рынке должны остаться максимум 6 продавцов (если будет 7, то их выручка будет больше, чем была бы без вмешательства); таким образом, нужно поймать как минимум 94 продавцов ( 2 балла за решение неравенства).
(ж) ( 2 балла) Если полиция захочет купить d единиц наркотиков, то суммарный спрос (при ценах не выше 60 ) составит q_d=30-0,5p+d. В равновесии 30-0,5p+d=2p, откуда равновесная цена p=12+0,4d. Как показано в пункте (г), надо, чтобы новая цена была не менее 48 :
12+0,4d\geq 48
0,4d\geq36
d\geq 90
Значит, полиция должна будет купить не менее 90 единиц наркотиков. При цене не ниже 48 д.е. это обойдётся как минимум в 7320 д.е. ( 1 балл за верно найденную сумму).
Если бы полиция захотела сделать объём спроса наркоманов равным нулю, необходимо было бы скупить все предложенные наркотики по максимальной цене спроса наркоманов, которая равна 60. По этой цене продавцы готовы предложить 120 ед. наркотиков, все они должны быть выкуплены. Это потребует расходов в размере 7200 д.е. ( 1 балл за верно найденную сумму).