Задача 2 ОЧ-2014 (10-11 класс). Пароходы
Фирма Паровой гигант является монопольным производителем пароходов. У фирмы есть семь потенциальных покупателей, каждый из которых раздумывает над покупкой одного парохода. Максимальная цена, которую первый покупатель согласен заплатить за пароход, составляет 210 тыс. дублонов. Второй покупатель согласен заплатить за пароход не более 180 тыс. дублонов. Третий — не более 160 тыс. дублонов. Четвёртый — не более 140 тыс. дублонов. Пятый — не более 120 тыс. дублонов. Шестой — не более 100 тыс. дублонов. Наконец, седьмой согласен заплатить за пароход максимум 80 тыс. дублонов.
Фирма располагает заводом по производству пароходов, общие издержки которого следующим образом зависят от объема производства:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Количество произведённых пароходов} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \text{Общие издержки (в тыс. дублонов)} & 0 & 20 & 80 & 170 & 300 & 450 & 600 & 750 \\ \hline \end{array}
Фирма обязана устанавливать одинаковую цену для всех покупателей.
а) Какую цену следует установить фирме и сколько пароходов произвести для того, чтобы получить максимальную прибыль? Чему равна эта максимальная прибыль?
б) Теперь у фирмы Паровой гигант появилась возможность арендовать второй завод. Издержки на втором заводе следующим образом зависят от объёма производства:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Количество произведённых пароходов} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \text{Общие издержки (в тыс. дублонов)} & 0 & 10 & 60 & 160 & 260 & 360 & 460 & 560 \\ \hline \end{array}
Фирма может производить часть кораблей на первом заводе, часть — на втором, в любой комбинации на своё усмотрение. Какую максимальную цену согласится заплатить фирма Паровой гигант за аренду второго завода?
а) Представим прибыль компании, которую она может получить при выборе разных объёмов выпуска, в виде сводной таблицы:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Количество} & \text{Общие издержки} & \text{Цена} & \text{Выручка = Количество $\times$ Цена} & \text{Прибыль = Выручка - Издержки} \\ \hline 1 & 20 & 210 & 210 & 190 \\ \hline 2 & 80 & 180 & 360 & 280 \\ \hline 3 & 170 & 160 & 480 & \textcolor{red}{310} \\ \hline 4 & 300 & 140 & 560 & 260 \\ \hline 5 & 450 & 120 & 600 & 150 \\ \hline 6 & 600 & 100 & 600 & 0 \\ \hline 7 & 750 & 80 & 560 & -190 \\ \hline \end{array} Из таблицы видно, что максимальная прибыль равна 310 тыс. дублонов. Она достигается при объеме выпуска, равном 3 пароходам, и цене в 160 тысяч дублонов за один пароход.
б) Посмотрим, какую прибыль может получить компания, если она использует два завода.
При этом отметим, что первый пароход в этом случае следует производить на втором заводе, так как издержки производства первой единицы продукции на этом заводе меньше (10<20).
При производстве двух пароходов оптимально производить один пароход на первом заводе и один — на втором, так как в этом случае суммарные затраты составят 10+20=30 (в то время, как если оба парохода производить на одном заводе, общие издержки будут или 60, или 80, в зависимости от того, на каком из заводов осуществляется производство).
По аналогии легко понять, что при производстве трех пароходов следует производить 1 пароход на первом заводе и два — на втором. При этом издержки составят 20+60=80. И так далее.
Теперь представим прибыль компании, которую она может получить при выборе разных объёмов выпуска, в виде сводной таблицы:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Количество} & \text{Общие издержки} & \text{Цена} & \text{Выручка = Количество $\times$ Цена} & \text{Прибыль = Выручка - Издержки} \\ \hline 1 & 10 & 210 & 210 & 200 \\ \hline 2 & 30 & 180 & 360 & 330 \\ \hline 3 & 80 & 160 & 480 & 400 \\ \hline 4 & 140 & 140 & 560 & \textcolor{red}{420} \\ \hline 5 & 230 & 120 & 600 & 370 \\ \hline 6 & 330 & 100 & 600 & 270 \\ \hline 7 & 430 & 80 & 560 & 130 \\ \hline \end{array} Из таблицы видно, что максимальная прибыль равна 420 тыс. дублонов. Она достигается при объёме выпуска, равном 4 пароходам, и цене в 140 тысяч дублонов за один пароход.
Видно, что использование завода позволяет увеличить прибыль компании на 110 тысяч дублонов. Это и есть максимальная цена, которую согласится заплатить фирма за аренду второго завода.