Задание 6. Олимпиада Колокольникова 2024 (8 класс)
Трубочку со сгущенкой и капучино на кокосовом молоке, please!
Александр – модный инфлюенсер, который живет в М-сити и занимается криптовалютами. Для поддержания образа жизни ему нужны видеокарты первого (x) и второго типа (y). Для удобства будем считать, что видеокарты бесконечно делимые.
У Александра есть друзья, которые занимаются производством видеокарт. КПВ первого друга задано функцией 2y+3x=240, а второго - 8y+3x=600. Александр может работать лишь с одним из них.
а) ( 3 балла) Какое наибольшее количество карт первого типа Александр сможет получить при условии, что ему надо не менее 45 карт второго типа?
Если Александр будет работать с первым другом и его друг произведет 45 карт второго типа, то Александр сможет получить карт первого \frac {240-45*2}{3}=50 типа. Если Александр будет работать со вторым другом и будет произведено 45 карт второго типа, то Александр сможет получить \frac {600-8*45}{3}=80 карт первого типа.
Следовательно, ему будет выгоднее работать со вторым другом, так как он будет получать больше карт первого типа. ( 3 балла за полностью решенный пункт)
б) ( 5 баллов) Найдите суммарное КПВ Александра. Нарисуйте график и задайте КПВ аналитически.
Александр решил переехать из небоскреба в загородный дом на знаменитом шоссе. В связи с этим у него появилась проблема: чтобы доставить видеокарты в загородный дом, необходимо их сложить в специальную защитную коробку, размер которой равен 240, а размер видеокарт первого и второго типа - 1,5 и 2 соответственно. Это значит, что в коробку поместится или 160 видеокарт первого типа, или 120 видеокарт второго типа, или любая линейная комбинация из видеокарт. Коробка ломается после переезда, и вторую такую не найти.
Так как Александр может производить видеокарты только у одного друга, его суммарная КПВ будет верхней огибающей кривых производственных возможностей его друзей, нарисованных на одном графике ( 2 балла за обоснование либо максимизацию).
( 2 балла за график)
В данном случае суммарная КПВ Александра будет задаваться функцией y(x)=120-1,5x при 0\leq x<40 и y(x)=75-0,375x при 40\leq x\leq 200. ( 1 балл за аналитическую запись КПВ)
в) ( 6 баллов) Найдите КПВ Александра после переезда.
Теперь поговорим о главном. Александр занимается майнингом криптовалюты re_coin, причем для получения одного re_coin требуется 28 видеокарт первого типа и 3 - второго.
Мы можем составить ограничение по вместимости коробок: 240=1,5x+2y. Теперь каждая точка на нашем КПВ должна быть доступна на КПВ из пункта б) (условие, что друзья могут произвести такое число видеокарт), а также быть доступна на 240=1,5x+2y (условие, что Александр может перевезти такое число видеокарт). Таким образом, необходимо взять нижнюю огибающую от данных КПВ, нарисованных на одном графике. ( 2 балла за обоснование либо максимизацию; если обоснование неверное, но верная идея, то ставится 1 балл).
( 2 балла за график)
В данном случае суммарная КПВ Александра будет задаваться функцией
y(x)=120-1,5x при 0\leq x<40, y(x)=75-0,375x при 40\leq x\leq 120 и y(x)=120-0,75x при 120<x \leq 160.
( 2 балла за аналитическую запись КПВ)