Задача 3 ОЧ-2018 8 класс
На отдаленном островке в Тихом океане проживает племя Тамагочи. Всех представителей племени отличает увлечение известной игрой и безграничная общительность. Каждого жителя острова можно удобно идентифицировать по уникальному количеству его виртуальных питомцев: у -того жителя их ровно штук. К великому счастью Тамагочей недавно на острове наконец появилась первая социальная сеть. Удовольствие, испытываемое -тым жителем от пользования сетью, можно измерить в соответствии с формулой , где обозначает количество пользователей сети, включая самого -того жителя. В случае отключения от сети удовольствие жителя равно нулю, поскольку он не испытывает мук совести относительно своей интернет-зависимости. В случае, если пользование и не пользование сетью одинаково предпочтительны, житель выбирает первое.
Предположим, жители острова каждое утро независимо друг от друга принимают решение о подключении к сети или отключении от нее. Помимо этого каждое утро они могут наблюдать точное количество пользователей, подключившихся к сети в предыдущие дни. Принимая решение, каждый житель предполагает, что его соплеменники будут действовать так же, как они это делали в прошлом периоде. В день появления сети единственным, кто к ней подключился, был смелый вождь племени .
(а) Для каждого натурального значения параметра определите, на какой день после появления сети к ней подключатся все жители острова.
Вскоре после описанных событий на острове появился мессенджер, ничуть не уступающий существующей сети по всем потребительским характеристикам. Мнения жителей разделились: ровно половина отдала предпочтение старой сети, а все остальные прельстились бесплатными стикерами и перешли на пользование новым мессенджером. Соответственно, теперь каждое утро жители независимо друг от друга принимают решение о том, каким способом они будут коммуницировать в этот день, или не будут этого делать вовсе.
(б) Предположим, что . Покажите, как будет меняться количество пользователей обеих сетей, начиная с первого дня после появления нового мессенджера.
(в) Исходя из условия задачи, предположите, что экономисты подразумевают под термином { {сетевой эффект}}. Приведите пример блага (кроме социальных сетей), в отношении которого может быть применим этот термин. Приведите пример не более двух отрицательных последствий сетевого эффекта для потребителей блага.
(а) Определим ожидания жителей на первый день после подключения сети:
Вождь ожидает сохранения статус-кво, что в его случае соответствует полезности
Вне зависимости от значений параметра в первый день он отключится от сети.
Все остальные жители от подключения к сети ожидают полезность . Соответственно, при подключится жителей, для которых , и при не подключится никто.
Утром второго дня в сети будет жителей. Рассмотрим локальный случай . Он описывает ситуацию, в которой утром первого дня в сети оказались все жители острова кроме вождя. Соответственно, он присоединится к ним во второй день, и, начиная с этого момента, сеть никто не покинет.
Для всех прочих текущие пользователи сети будут оценивать полезность от статус-кво как
В сети останутся пользователи, для которых она неотрицательна:
Помним, что для этого выполняется . Значит, для любого житель, подключившийся к сети, останется в ней и на второй день. Случай можно рассмотреть отдельно и понять, что сеть окончательно умрет на второй день.
Все остальные жители будут оценивать полезность
Предлагается следующее: ввиду крайне быстрого роста числа пользователей сети поймем, при каких она не будет заполнена на второй день. Это можно интерпретировать как значения , при которых на второй день вождь, как житель с наименьшим , не подключится:
Убедимся:
Значит, при всех сеть заполнится на второй день.
На третий день задача неподключенного жителя будет выглядеть так:
Снова найдем наименьшее значение, при котором не подключится вождь. Без ограничения целочисленности получаем неравенство
Проверим : - на третий день вождь подключится.
Понятно, что надо увеличить
Проверим : - на третий день вождь не подключится.
Ответ: при на второй день
при на третий день
при на четвертый день
при никогда.
(б) Каждый из половины пользователей сети на следующий день захочет стать -ым пользователем мессенджера и наоборот. Соответственно, каждый житель племени будет ежедневно менять способ коммуникации, однако на количествах пользователей сети и мессенджера это не отразится.
(в) Согласно определению, сетевой эффект - эффект в экономике и бизнесе, который пользователь товара или услуги оказывает на ценность этого продукта или услуги для других пользователей.