Задача 3 ОЧ-2018 8 класс
На отдаленном островке в Тихом океане проживает племя Тамагочи. Всех 500 представителей племени отличает увлечение известной игрой и безграничная общительность. Каждого жителя острова можно удобно идентифицировать по уникальному количеству его виртуальных питомцев: у i -того жителя (i=1,2,...,500) их ровно i штук. К великому счастью Тамагочей недавно на острове наконец появилась первая социальная сеть. Удовольствие, испытываемое i -тым жителем от пользования сетью, можно измерить в соответствии с формулой U_i=i*(n-1)-A, где n обозначает количество пользователей сети, включая самого i -того жителя. В случае отключения от сети удовольствие жителя равно нулю, поскольку он не испытывает мук совести относительно своей интернет-зависимости. В случае, если пользование и не пользование сетью одинаково предпочтительны, житель выбирает первое.
Предположим, жители острова каждое утро независимо друг от друга принимают решение о подключении к сети или отключении от нее. Помимо этого каждое утро они могут наблюдать точное количество пользователей, подключившихся к сети в предыдущие дни. Принимая решение, каждый житель предполагает, что его соплеменники будут действовать так же, как они это делали в прошлом периоде. В день появления сети единственным, кто к ней подключился, был смелый вождь племени (i=1).
(а) Для каждого натурального значения параметра A определите, на какой день после появления сети к ней подключатся все жители острова.
Вскоре после описанных событий на острове появился мессенджер, ничуть не уступающий существующей сети по всем потребительским характеристикам. Мнения жителей разделились: ровно половина отдала предпочтение старой сети, а все остальные прельстились бесплатными стикерами и перешли на пользование новым мессенджером. Соответственно, теперь каждое утро жители независимо друг от друга принимают решение о том, каким способом они будут коммуницировать в этот день, или не будут этого делать вовсе.
(б) Предположим, что A=0. Покажите, как будет меняться количество пользователей обеих сетей, начиная с первого дня после появления нового мессенджера.
(в) Исходя из условия задачи, предположите, что экономисты подразумевают под термином {\it it {сетевой эффект}}. Приведите пример блага (кроме социальных сетей), в отношении которого может быть применим этот термин. Приведите пример не более двух отрицательных последствий сетевого эффекта для потребителей блага.
(а) Определим ожидания жителей на первый день после подключения сети:
Вождь ожидает сохранения статус-кво, что в его случае соответствует полезности
U_1=1*(1-1)-A=-A<0
Вне зависимости от значений параметра A в первый день он отключится от сети.
Все остальные жители от подключения к сети ожидают полезность U_i=i*(2-1)-A=i-A. Соответственно, при A\leq 500 подключится n_1=min\{501-A,499\} жителей, для которых i\geq A, и при A>500 не подключится никто.
Утром второго дня в сети будет n_1 жителей. Рассмотрим локальный случай A=1. Он описывает ситуацию, в которой утром первого дня в сети оказались все жители острова кроме вождя. Соответственно, он присоединится к ним во второй день, и, начиная с этого момента, сеть никто не покинет.
Для всех прочих 2\leq A\leq 500 текущие пользователи сети будут оценивать полезность от статус-кво как
U_i=i*(n_1-1)-A=i*(500-A)-A
В сети останутся пользователи, для которых она неотрицательна:
i \cdot (500 - A) - A \geq 0 \rightarrow i \geq \frac{A}{500 - A} = -1 + \frac{500}{500 - A}
Помним, что для этого i выполняется i\geq A. Значит, для любого A\leq 499 житель, подключившийся к сети, останется в ней и на второй день. Случай A=500 можно рассмотреть отдельно и понять, что сеть окончательно умрет на второй день.
Все остальные жители будут оценивать полезность
U_i=i*(n_1+1-1)-A=i*(501-A)-A
Предлагается следующее: ввиду крайне быстрого роста числа пользователей сети поймем, при каких A она не будет заполнена на второй день. Это можно интерпретировать как значения A, при которых на второй день вождь, как житель с наименьшим i, не подключится:
501 - A - A < 0 \rightarrow A > 250.5 \rightarrow A \geq 251
Убедимся: n_1(A = 251) = 250 \implies n_2(A = 251) : i \cdot 250 - 251 \geq 0 \implies i_{max} = 2
Значит, при всех A\leq 250 сеть заполнится на второй день.
На третий день задача неподключенного жителя будет выглядеть так:
U_i = i \cdot \left( 500 - \left\lfloor \frac{A}{501 - A} \right\rfloor \right) - A \geq 0
Снова найдем наименьшее значение, при котором не подключится вождь. Без ограничения целочисленности получаем неравенство
500 \cdot 501 - 500A - A - 501A + A^2 \geq 0 \rightarrow A^2 - 2 \cdot 501A + 500 \cdot 501 \geq 0
A^2 - 2 \cdot 501A + 501^2 - 501 \geq 0
501 - A \leq \sqrt{501} \implies A \geq 501 - \sqrt{501} \implies A \geq 501 - 22 = 479
Проверим 479 : n_1 = 22, \quad n_2 = 500 - \left\lfloor \frac{479}{22} \right\rfloor = 500 - 21 = 479 - на третий день вождь подключится.
Понятно, что A надо увеличить
Проверим 480 : n_1 = 21, \quad n_2 = 500 - \left\lfloor \frac{480}{21} \right\rfloor = 500 - 22 = 478 - на третий день вождь не подключится.
Ответ: при 0\leq A\leq 250 на второй день
при 251\leq A\leq 479 на третий день
при 480\leq A\leq 499 на четвертый день
при 500\leq A никогда.
(б) Каждый из половины пользователей сети на следующий день захочет стать 251 -ым пользователем мессенджера и наоборот. Соответственно, каждый житель племени будет ежедневно менять способ коммуникации, однако на количествах пользователей сети и мессенджера это не отразится.
(в) Согласно определению, сетевой эффект - эффект в экономике и бизнесе, который пользователь товара или услуги оказывает на ценность этого продукта или услуги для других пользователей.