(а) Определим ожидания жителей на первый день после подключения сети:

Вождь ожидает сохранения статус-кво, что в его случае соответствует полезности

U_1=1*(1-1)-A=-A<0

Вне зависимости от значений параметра A в первый день он отключится от сети.

Все остальные жители от подключения к сети ожидают полезность U_i=i*(2-1)-A=i-A. Соответственно, при A\leq 500 подключится n_1=min\{501-A,499\} жителей, для которых i\geq A, и при A>500 не подключится никто.

Утром второго дня в сети будет n_1 жителей. Рассмотрим локальный случай A=1. Он описывает ситуацию, в которой утром первого дня в сети оказались все жители острова кроме вождя. Соответственно, он присоединится к ним во второй день, и, начиная с этого момента, сеть никто не покинет.

Для всех прочих 2\leq A\leq 500 текущие пользователи сети будут оценивать полезность от статус-кво как

U_i=i*(n_1-1)-A=i*(500-A)-A

В сети останутся пользователи, для которых она неотрицательна:

i \cdot (500 - A) - A \geq 0 \rightarrow i \geq \frac{A}{500 - A} = -1 + \frac{500}{500 - A}

Помним, что для этого i выполняется i\geq A. Значит, для любого A\leq 499 житель, подключившийся к сети, останется в ней и на второй день. Случай A=500 можно рассмотреть отдельно и понять, что сеть окончательно умрет на второй день.

Все остальные жители будут оценивать полезность

U_i=i*(n_1+1-1)-A=i*(501-A)-A

Предлагается следующее: ввиду крайне быстрого роста числа пользователей сети поймем, при каких A она не будет заполнена на второй день. Это можно интерпретировать как значения A, при которых на второй день вождь, как житель с наименьшим i, не подключится:

501 - A - A < 0 \rightarrow A > 250.5 \rightarrow A \geq 251

Убедимся: n_1(A = 251) = 250 \implies n_2(A = 251) : i \cdot 250 - 251 \geq 0 \implies i_{max} = 2

Значит, при всех A\leq 250 сеть заполнится на второй день.

На третий день задача неподключенного жителя будет выглядеть так:

U_i = i \cdot \left( 500 - \left\lfloor \frac{A}{501 - A} \right\rfloor \right) - A \geq 0

Снова найдем наименьшее значение, при котором не подключится вождь. Без ограничения целочисленности получаем неравенство

500 \cdot 501 - 500A - A - 501A + A^2 \geq 0 \rightarrow A^2 - 2 \cdot 501A + 500 \cdot 501 \geq 0

A^2 - 2 \cdot 501A + 501^2 - 501 \geq 0

501 - A \leq \sqrt{501} \implies A \geq 501 - \sqrt{501} \implies A \geq 501 - 22 = 479

Проверим 479 : n_1 = 22, \quad n_2 = 500 - \left\lfloor \frac{479}{22} \right\rfloor = 500 - 21 = 479 - на третий день вождь подключится.

Понятно, что A надо увеличить

Проверим 480 : n_1 = 21, \quad n_2 = 500 - \left\lfloor \frac{480}{21} \right\rfloor = 500 - 22 = 478 - на третий день вождь не подключится.

Ответ: при 0\leq A\leq 250 на второй день

при 251\leq A\leq 479 на третий день

при 480\leq A\leq 499 на четвертый день

при 500\leq A никогда.

(б) Каждый из половины пользователей сети на следующий день захочет стать 251 -ым пользователем мессенджера и наоборот. Соответственно, каждый житель племени будет ежедневно менять способ коммуникации, однако на количествах пользователей сети и мессенджера это не отразится.

(в) Согласно определению, сетевой эффект - эффект в экономике и бизнесе, который пользователь товара или услуги оказывает на ценность этого продукта или услуги для других пользователей.