Прибыльное Средиземье
Когда Бильбо Бэггинс вернулся в Шир после Битвы Пяти Воинств, он осознал, что в скором времени все богатства, которые он добыл в походе (в сумме составлявшие денежных единиц) обесценятся из-за инфляции, которая каждый год составляет . Предприимчивый хоббит, не долго думая, решил заставить свои деньги работать и прикинул для себя возможных варианта действий:
-
Отдать из своих денег Гэндальфу, который как раз собирался открыть производство табачного зелья. В этом случае первый год прибылей ждать не придется, а во все последующие года маг обещал выплачивать Бильбо по денежных единиц.
-
Открыть собственное предприятие по производству табачного зелья и конкурировать с Гэндальфом по Курно. В этом случае для открытия собственного бизнеса придется потратить всю сумму, имеющуюся у Бильбо (в нулевом периоде), а прибыли полученные каждый год (также начиная с нулевого периода) дисконтируются в соответствии с величиной инфляции.
Каждый год спрос на табачное зелье описывается функцией , а в силу отсутствия технического прогресса последнюю тысячу лет, у любого завода по производству табачного зелья издержки равны . Помогите хоббиту принять решение.
P.S. Бильбо не боится мага и других издержек кроме как производственных (если он откроет собственный завод) не несет.
Ответ
Если он выбирает первый вариант, то у него остаются, а все прибыли дисконтируются, и их величина сводится к формуле суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем и с первым членом равным , так как первая выплата будет произведена только во втором году.
Если он выбирает конкурировать, то можно записать прибыль Бильбо ( -количество Бильбо, -количество Гэндальфа):
Заметим, что функции издержек у заводов одинаковы, значит у Гэндальфа такая же функция прибыли (только от его значения ).
Промаксимизируем обе функции прибыли, взяв первую производную, либо по формуле вершины параболы.
Получим:
Отсюда получаем, что .
Значит , а .
Приведем прибыли к нулевому периоду.
Ответ:
Приведенное значение всех выплат в первом случае составило , а во втором случае . Значит, Бильбо выгодно выбрать первый вариант.