Прибыльное Средиземье
Когда Бильбо Бэггинс вернулся в Шир после Битвы Пяти Воинств, он осознал, что в скором времени все богатства, которые он добыл в походе (в сумме составлявшие 10000 денежных единиц) обесценятся из-за инфляции, которая каждый год составляет 10\%. Предприимчивый хоббит, не долго думая, решил заставить свои деньги работать и прикинул для себя 2 возможных варианта действий:
1) Отдать 8000 из своих денег Гэндальфу, который как раз собирался открыть производство табачного зелья. В этом случае первый год прибылей ждать не придется, а во все последующие года маг обещал выплачивать Бильбо по 1936 денежных единиц.
2) Открыть собственное предприятие по производству табачного зелья и конкурировать с Гэндальфом по Курно. В этом случае для открытия собственного бизнеса придется потратить всю сумму, имеющуюся у Бильбо (в нулевом периоде), а прибыли полученные каждый год (также начиная с нулевого периода) дисконтируются в соответствии с величиной инфляции.
Каждый год спрос на табачное зелье описывается функцией Q=920-10P, а в силу отсутствия технического прогресса последнюю тысячу лет, у любого завода по производству табачного зелья издержки равны TC=Q^2. Помогите хоббиту принять решение.
P.S. Бильбо не боится мага и других издержек кроме как производственных (если он откроет собственный завод) не несет.
Если он выбирает первый вариант, то 2000 у него остаются, а все прибыли дисконтируются, и их величина сводится к формуле суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \frac{1}{1,1} и с первым членом равным \frac{1936}{1,1}, так как первая выплата будет произведена только во втором году.
PV_1 = 2000 + \frac{1936}{\frac{1}{1,1} - \frac{1}{1,1}} = 2000 + \frac{1936}{0,1} = 21360
Если он выбирает конкурировать, то можно записать прибыль Бильбо (Q_1 -количество Бильбо, Q_2 -количество Гэндальфа):
\pi_1 = \left(92 - \frac{Q_1}{10} - \frac{Q_2}{10}\right) * Q_1 - Q_1^2 = Q_1\left(92 - \frac{Q_2}{10}\right) - 11 * \frac{Q_1^2}{10}
Заметим, что функции издержек у заводов одинаковы, значит у Гэндальфа такая же функция прибыли (только от его значения Q_2 ).
Промаксимизируем обе функции прибыли, взяв первую производную, либо по формуле вершины параболы.
Получим: 92 - \frac{Q_2}{10} - 22 * \frac{Q_1}{10} = 0 \quad \text{и} \quad 92 - \frac{Q_1}{10} - 22 * \frac{Q_2}{10} = 0
Отсюда получаем, что Q_1=Q_2=40.
Значит P=84, а \pi_1=84*40-40^2=44*40=1760.
Приведем прибыли к нулевому периоду.
PV_2 = \frac{1760}{\left( 1 - \frac{1}{1{,}1} \right)} = 19360
Ответ:
Приведенное значение всех выплат в первом случае составило 21360, а во втором случае 19360. Значит, Бильбо выгодно выбрать первый вариант.