Если он выбирает первый вариант, то 2000 у него остаются, а все прибыли дисконтируются, и их величина сводится к формуле суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \frac{1}{1,1} и с первым членом равным \frac{1936}{1,1}, так как первая выплата будет произведена только во втором году.

PV_1 = 2000 + \frac{1936}{\frac{1}{1,1} - \frac{1}{1,1}} = 2000 + \frac{1936}{0,1} = 21360

Если он выбирает конкурировать, то можно записать прибыль Бильбо (Q_1 -количество Бильбо, Q_2 -количество Гэндальфа):

\pi_1 = \left(92 - \frac{Q_1}{10} - \frac{Q_2}{10}\right) * Q_1 - Q_1^2 = Q_1\left(92 - \frac{Q_2}{10}\right) - 11 * \frac{Q_1^2}{10}

Заметим, что функции издержек у заводов одинаковы, значит у Гэндальфа такая же функция прибыли (только от его значения Q_2 ).

Промаксимизируем обе функции прибыли, взяв первую производную, либо по формуле вершины параболы.

Получим: 92 - \frac{Q_2}{10} - 22 * \frac{Q_1}{10} = 0 \quad \text{и} \quad 92 - \frac{Q_1}{10} - 22 * \frac{Q_2}{10} = 0

Отсюда получаем, что Q_1=Q_2=40.

Значит P=84, а \pi_1=84*40-40^2=44*40=1760.

Приведем прибыли к нулевому периоду.

PV_2 = \frac{1760}{\left( 1 - \frac{1}{1{,}1} \right)} = 19360

Ответ:

Приведенное значение всех выплат в первом случае составило 21360, а во втором случае 19360. Значит, Бильбо выгодно выбрать первый вариант.