Вкусное питание
В загадочной лесной долине обитают жители, которые питаются вкусными рыбными пирамидками. Все жители делятся на 2 группы: боторы и рыботы. Спрос боторов задается функцией Q_{d1}=180-3P, а рыботов: Q_{d2}=150-5P. К счастью, в лесной долине есть множество фирм, производящих этот деликатес, и функция предложения на рынке задается как Q_s=-120+10P.
a) Найдите, какое количество пирамидок и по какой цене будет продаваться в лесной долине.
Q_{\text{общ}}^d = \begin{cases} 330 - 8P, & P < 30 \\ 180 - 3P, & P \geq 30 \end{cases}
330 - 8P = -120 + 10P
450 = 18P => P = 25 < 30
Q = 130
b) Правительство леса посчитало, что рыбные пирамидки вредят здоровью и ввело налог в размере 22 денюжек. Найдите новое равновесие на рынке. Сколько пирамидок будет потреблять каждая из групп?
P^s = P^d - 22
Q_{\text{нов}}^s = -120 + 10(P - 22)=-340+10P
180 - 3P = -340 + 10P
520 = 13P
P=40 > 30, Q = 60
c) Правительство леса решило, что собранные налоги можно направить на разработку нового блюда – мясных кубиков. Для того, чтобы новое блюдо получилось наиболее вкусным, необходимо собрать как можно больше средств. Какую ставку налога стоит установить, чтобы налоговые сборы были максимальными?
P^d = \begin{cases} 41.25 - \frac{1}{3} Q, & P > 30, \; Q < 90 \\ 60 - \frac{1}{3} Q, & P > 30, \; Q \geq 90 \end{cases}
P^s = 12 + \frac{Q}{10}
t = \begin{cases} 41.25 - \frac{1}{8} Q - 12 - \frac{Q}{10} = 17 - \frac{9}{40} Q, & Q > 90, \\ 60 - \frac{1}{3} Q - 12 - \frac{Q}{10} = 48 - \frac{13}{30} Q, & Q \leq 90. \end{cases}
T = \begin{cases} \frac{(1170 - 9Q)Q}{40}, & Q > 90 \implies \max \Rightarrow Q^* = 65 > 90, \\ \frac{(1440 - 13Q)Q}{30}, & Q \leq 90 \implies \max \Rightarrow Q^* = \frac{720}{13} \leq 90. \end{cases}
t = 48 - \frac{13}{30} \cdot \frac{720}{13} = 24