S007
Веймарская республика. Гиперинфляция. Отставной фельдфебель Ганс ранним утром приехал в пивную на своей инвалидной коляске, имея при себе 5032 миллиарда марок. В тот момент, когда он приехал, кружка баварского пива стоила 100 миллиардов марок, а сосиска с кислой капустой – 60 миллиардов марок. Гансу было известно, что через каждый час сосиска будет дорожать на 2 миллиарда марок. Кроме того, он знал, на какую величину будет возрастать каждый час цена кружки пива, но, к сожалению, нам эта величина неизвестна. В связи с дефицитом продуктов посетитель может заказать не более одной кружки пива в час. То же относится к сосискам с кислой капустой. Правда, сидеть в пивной можно неограниченно долго, поскольку она работает круглосуточно.
Функция полезности Ганса имеет вид: U=XY, где X – число выпитых кружек пива, Y – число съеденных сосисок. Фельдфебель Ганс сидел в пивной до тех пор, пока не потратил все свои деньги. Известно, что, максимизируя свою функцию полезности, Ганс выпил 20 кружек пива. Если так, то сколько он съел сосисок с кислой капустой?
Предельная полезность X -й кружки пива: MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = Y. То же для Y -й сосиски: MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = X. Поскольку цены благ возрастают так, что цена (i+1) -й единицы блага всегда больше цены i -й единицы, можно принять следующий критерий оптимума: \frac{MU_X}{P_X} = \frac{MU_Y}{P_Y}, где P_X, P_Y – цены последних приобретенных единиц того и другого блага.
Цена X -й кружки пива: P_X = 100 + \varphi (X - 1), где \varphi – величина, на которую каждый час дорожает кружка пива. Цена Y -й сосиски: P_Y=60+2(Y-1).
Условие оптимума: \frac{Y}{100 + \varphi (X - 1)} = \frac{X}{60 + 2(Y - 1)}. Y \left[60 + 2(Y - 1)\right] = X \left[100 + \varphi (X - 1)\right].
По формуле суммы членов арифметической прогрессии можно составить следующее бюджетное ограничение: 5032 = \frac{100 + 100 + \varphi (X - 1)}{2} X + \frac{60 + 60 + 2(Y - 1)}{2} Y.
5032 = \frac{100X + X[100 + \varphi (X - 1)]}{2} + \frac{60 + 60 + 2(Y - 1)}{2}Y.
Используя условие оптимума, заменяем в этом выражении X[100+\varphi(X-1)] на Y[60+2(Y-1)].
5032 = \frac{100X + Y[60 + 2(Y - 1)]}{2} + \frac{60 + 60 + 2(Y - 1)}{2}Y.
Учитывая, что при оптимуме X=20, получаем следующее уравнение: Y^2+44Y-2016=0. Y=28.
Ответ: 28 сосисок с кислой капустой.