Для влюблённых в кофе
В Сонном царстве школьники и студенты делают уроки по ночам. Для этого им нужен кофе, который производится единственной фирмой «Монокофия». Издержки на производство постоянны и составляют 1 рубль на 1 грамм кофе. В Сонном царстве 600 школьников, спрос школьника задаётся функцией q_ш=5-p. Студентов в шесть раз меньше, чем школьников, при этом спрос одного студента описывается функцией q_{ст}=7-2p, где q – количество в граммах, а p – цена в рублях.
1) (10 баллов) Какую цену установит фирма «Монокофия» за грамм кофе, если продажа осуществляется на развес?
2) (20 баллов) Если фирма может продавать кофе в банках, то сколько граммов кофе будет в одной банке и сколько она будет стоить?
1)
2 балла за вывод спросов на каждое из благ:
\begin{cases} Q_u = N_u q_u = 3000 - 600p \\ Q_{CT} = N_{CT} q_{CT} = 700 - 200p \end{cases}
2 балла за общий спрос:
Q_{CT} + Q_u = \begin{cases} 3000 - 600p, & p \geq 3.5 \\ 3700 - 800p, & p < 3.5 \end{cases}
1 балл за правильно выписанную функцию прибыли (p - цена, с - издержки на единицу):
\pi_i = Q \cdot p - Q \cdot c = Q(p - c)
Первый участок (2 балла):
\pi_i = (3000 - 600p)(p - 1) = -600p^2 + 3600p - 3000
p^* = 3 \quad \not \leq 3.5 \quad \Rightarrow \quad \text{точка не принадлежит данному интервалу}
Второй участок (3 балла):
\pi_i = (3700 - 800p)(p - 1) = -800p^2 + 4500p - 3700
p^* = \frac{45}{16} < 3.5 \quad \Rightarrow \quad \text{точка внутри участка}
Таким образом, фирма установит цену 45/16.
2) В данном пункте нужно строго обосновать, что выгодно продавать обеим группам. Если в первом и втором пункте не был рассмотрен второй участок спроса, то за этот пункт могло быть поставлено максимум 10 баллов.
Нужно было заметить и обосновать, что в данном пункте цена не изменится. А далее найти любой объём банок так, чтобы обе группы смогли купить объёмы из предыдущего пункта (q_{CT} = \frac{22}{16}, q_u = \frac{35}{16}).