Неравенство в Некотором царстве
В Некотором царстве население по уровню дохода делится на две группы – бедные и богатые – причем доход внутри каждой группы распределен равномерно. Коэффициент Джини в Некотором царстве равен , а число богатых жителей не менее всего населения.
Если бы средний доход бедных увеличился на , а средний доход богатых не изменился, то средний доход во всем царстве возрос бы на монет, а коэффициент Джини сократился до (при этом бедные по-прежнему остались бы бедными, а богатые – богатыми).
-
Во сколько раз в Некотором царстве средний доход богатых превышает средний доход бедных?
-
Во сколько раз в Некотором царстве средний доход богатых превышает средний доход всего общества?
Пусть – доля бедного населения ), — доля совокупного дохода царства, которую получают бедные жители, — средний доход в группе бедных, — средний доход в группе богатых, — коэффициент Джини. Тогда .
Определим :
- совокупный доход всех бедных равен , где – число жителей Некоторого царства;
- средний доход в царстве равен ;
- совокупный доход всех жителей царства равен .
Следовательно,
Из условия:
Если бы средний доход бедных возрос на , то доля совокупного дохода царства, которую стали бы получать бедные жители
Из условия:
При этом средний доход в царстве стал бы равен . А по условию разница средних доходов составляет монет:
Запишем выражения и , выполнив замену с учетом , получим систему уравнений:
Выполним еще одну замену , тогда наша система выглядит намного проще:
Если , то , если же , то , что не соответствует условию.
Если , то из .
Теперь найдем (из последней замены):
А средний доход общества составляет .
Таким образом, средний доход богатых превышает средний доход бедных в раз, а средний доход общества – в раза.