Пусть \alpha – доля бедного населения (\alpha \leq 0,85 ), \beta — доля совокупного дохода царства, которую получают бедные жители, X_1 — средний доход в группе бедных, X_2 — средний доход в группе богатых, K — коэффициент Джини. Тогда K=\alpha -\beta.

Определим \beta :

совокупный доход всех бедных равен X_1*\alpha*N, где N – число жителей Некоторого царства;
средний доход в царстве равен \alpha*X_1+(1-\alpha)*X_2 ;
совокупный доход всех жителей царства равен (\alpha*X_1+(1-\alpha)*X_2)*N.

Следовательно,

\beta = \frac{\alpha \cdot X - 1 \cdot N}{(\alpha \cdot x_1 + (1 - \alpha) \cdot x_2) \cdot N\$} = \frac{\alpha \cdot X_1}{\alpha \cdot x_1 + (1 - \alpha) \cdot x_2}

Из условия:

K = \alpha - \beta = \alpha - \frac{\alpha \cdot X_1}{\alpha \cdot x_1 + (1 - \alpha) \cdot x_2} = 0{,}4

Если бы средний доход бедных возрос на 50\%, то доля совокупного дохода царства, которую стали бы получать бедные жители

\beta_1 = \frac{\alpha \cdot 1{,}5 \cdot X_1}{\alpha \cdot 1{,}5 \cdot x_1 + (1 - \alpha) \cdot x_2}

Из условия:

K_1 = \alpha - \beta_1 = \alpha - \frac{\alpha \cdot 1{,}5 \cdot X_1}{\alpha \cdot 1{,}5 \cdot x_1 + (1 - \alpha) \cdot x_2} = 0{,}3

При этом средний доход в царстве стал бы равен \alpha *1,5*X_1+(1-\alpha)*X_2. А по условию разница средних доходов составляет 40 монет:

\alpha \cdot 1{,}5 \cdot X_1 + (1 - \alpha) \cdot X_2 - (\alpha \cdot X_1 + (1 - \alpha) \cdot X_2) = 0{,}5 \cdot \alpha \cdot X_1 = 40 \quad \Rightarrow \quad \alpha \cdot X_1 = 80 \ (1)

Запишем выражения K и K_1, выполнив замену с учетом (1), получим систему уравнений:

\begin{cases} \alpha - \frac{\alpha \cdot X_1}{\alpha \cdot x_1 + (1 - \alpha) \cdot x_2} = 0{,}4 \\ \alpha - \frac{\alpha \cdot 1{,}5 \cdot X_1}{\alpha \cdot 1{,}5 \cdot x_1 + (1 - \alpha) \cdot x_2} = 0{,}3 \end{cases}

Выполним еще одну замену 80+(1-\alpha)*X_2=Z, тогда наша система выглядит намного проще:

\begin{cases} \alpha - \frac{80}{Z} = 0{,}4 \\ \alpha - \frac{120}{Z + 40} = 0{,}3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \frac{80}{Z} + 0{,}4 = \frac{120}{Z + 40} + 0{,}3 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{10} = \frac{120Z - 80(Z + 40)}{Z(Z + 40)} \quad \Rightarrow \quad

Z(Z + 40) = 120Z - 800(Z + 40) \\ Z^2 - 360Z + 32000 = 0 \quad \Rightarrow \quad Z_1 = 200, Z_2 = 160

Если Z=200, то \alpha=\frac{80}{200}+0,4=0,8, если же Z_1=160, то \alpha=\frac{80}{160}+0,4=0,9, что не соответствует условию.

Если \alpha=0,8, то из (1) X_1=\frac{80}{0,8}=100.

Теперь найдем X_2 (из последней замены):

80 + (1 - 0{,}8) \cdot X_2 = 200 \quad \Rightarrow \quad X_2 = 600

А средний доход общества составляет 0,8*100+0,2*600=200.

Таким образом, средний доход богатых превышает средний доход бедных в 6 раз, а средний доход общества – в 3 раза.