Неравенство в Некотором царстве

Количественная

В Некотором царстве население по уровню дохода делится на две группы – бедные и богатые – причем доход внутри каждой группы распределен равномерно. Коэффициент Джини в Некотором царстве равен , а число богатых жителей не менее всего населения.

Если бы средний доход бедных увеличился на , а средний доход богатых не изменился, то средний доход во всем царстве возрос бы на монет, а коэффициент Джини сократился до (при этом бедные по-прежнему остались бы бедными, а богатые – богатыми).

  1. Во сколько раз в Некотором царстве средний доход богатых превышает средний доход бедных?

  2. Во сколько раз в Некотором царстве средний доход богатых превышает средний доход всего общества?

Пусть   – доля бедного населения ),   — доля совокупного дохода царства, которую получают бедные жители,  — средний доход в группе бедных,   — средний доход в группе богатых, — коэффициент Джини. Тогда .

Определим  :

  • совокупный доход всех бедных равен , где – число жителей Некоторого царства;
  • средний доход в царстве равен  ;
  • совокупный доход всех жителей царства равен .

Следовательно,

Из условия:

Если бы средний доход бедных возрос на , то доля совокупного дохода царства, которую стали бы получать бедные жители

Из условия:

При этом средний доход в царстве стал бы равен . А по условию разница средних доходов составляет монет:

Запишем выражения   и , выполнив замену с учетом , получим систему уравнений:

Выполним еще одну замену , тогда наша система выглядит намного проще:

Если , то , если же , то , что не соответствует условию.

Если , то из  .

Теперь найдем   (из последней замены):

А средний доход общества составляет .

Таким образом, средний доход богатых превышает средний доход бедных в раз, а средний доход общества – в раза.